Matematyka.pl

liczby a b c sa dodatnie i spelniaja warunek \(\displaystyle{ ab + bc + ca > a + b + c}\) udowodnij , ze \(\displaystyle{ a+b+c>3}\)

Mnożymy nierówności przez siebie. Udowodnimy, nierówność mocniejszą:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a+b+c)>3(ab+bc+ac)}\) (dlaczego mogę tak zrobić?...)
A to się zwija do:
\(\displaystyle{ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>0}\), ale liczby a,b,c nie są sobie równe.
c.b.d.u.

Hmm sadze ze tam jest blad poniewaz gdy pomnozymy nierownosci przez siebie to otrzymamy:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(ab+bc+ca)>3(a+b+c)}\) a nie to co napisales. chyba ze tam jest jakis sprytny chwyt ktorego nie zauwazam : /

Trik jest taki, że nie możemy wymnożyć tak jak Ty napisałeś, bo byśmy mnożyli dwie "większe" strony przez siebie. Modyfikowalibyśmy teze. A ja ją wzmocniłem mnożąc prawą stronę nierówności (2) przez liczbę mniejszą od tej którą wymnożyłem stronę lewę. Trochę to pogmatwane, ale mam nadzieje, że czaisz bazę.

czaje ale czy jestes pewien ze mozemy tak mnozyc?

W tę mańkie możemy [/b]

stary do dzisiaj nie wiedzialem ze mozna takie myki robic sadzilem , ze trzeba uzyc jakiegos blyskotliwego triku. teraz zadanie jest banalne. dzieki. a i jeszcze jedno przy tego rodzaju zadaniach takie przemnozenie jest czesto skuteczne?

Szczerze mówiąc nie.

oż, co wy tu wyrabiacie ? Mamy ab+bc+ac>a+b+c. To cos MOZEMY przemnozyc przez (a+b+c). mamy (a+b+c)(ab+bc+ac)>(a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac). Pozostaje podzielic przez ab+bc+ac => a+b+c>3. Finito.

pzdr Michal

Przeciez to to samo, tylko nie udowodniles swojej drugiej nierównośći, a ja tak .