Matematyka.pl

A,B,C tworzą przestrzeń S.
Wiemy, że \(\displaystyle{ P(B)=2P(A)}\) oraz \(\displaystyle{ P(C)=3P(A)}\), a także, że prawdopodobieństwa iloczynów tych zbiorów są takie same.
Należy pokazać, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \le P(A) \le \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ 1=P(S)=P(A \cup B \cup C ) \le P(A)+P(B)+P(C)=P(A)+2P(A)+3P(A)=6P(A)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge P(B \cup C)=P(B) +P(C) -P(B \cap C) =P(B) +P(C) -P(A \cap C) \ge 2P(A)+3P(A)-P(A)=4P(A)}\)

Dzięki! Do tego jeszcze mam pokazać, że te ograniczenia są osiągalne. Jeżeli chodzi o 1/6, to proste, bo to przypadek, kiedy zdarzenia są niezależne. Ale nie wiem jak to drugie pokazać.

Niech \(\displaystyle{ X,Y \subset \Omega}\), będą takie, że \(\displaystyle{ P(X)=\frac{1}{2}}\) ,\(\displaystyle{ P(Y)=\frac{3}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ P(X \cap Y)=\frac{1}{4}}\), wówczas wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A=X \cap Y, B=X, C=Y}\)