Matematyka.pl

zbadac czy punkt A= ( 1,2,3) nalezy do płaszczyzny
\(\displaystyle{ \pi : \begin{cases} x=-1 +s +t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2+3s - t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} z= 3 - s+ 2t \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s,t \in R}\)
moze ktos mi towytłumaczyc co trzeba tu zrobic?

Podstawić za x, y i z odpowiednio 1, 2 i 3, a następnie sprawdzić, czy istnieje rozwiązanie układu równań.

no to juz to zrobilam i mi wychodzi dwa rozwiazania i do t i do s. a jak podstawaim do równia to do polowy wychodzi. dobrze robie??

Układy równań rozwiązujemy w ostateczności, to jest gdy usiłujemy unikać wiedzy z algebry liniowej.

Innymi słowa ta płaszczyzna to:

\(\displaystyle{ \pi=\{(-1,2,3)+s(1,3,-1)+t(1,-1,2):s,t\in\mathbb{R}\}}\)

Wystarczy więc ustalić, czy wektor:

\(\displaystyle{ (1,2,3)-(-1,2,3)=(2,0,0)}\)

należy do podprzestrzeni rozpiętej na wektorach \(\displaystyle{ (1,3,-1)}\) i \(\displaystyle{ (1,-1,2)}\), czyli, czy wyznacznik macierzy

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}2&0&0\\1&3&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}}\)

jest równy zeru, a nie jest, bo wynosi \(\displaystyle{ 10}\). Zatem dany punkt nie należy do danej płaszczyzny.

dzieki wielkie