Matematyka.pl

Witam, zadania proste, ale jakby ktoś mógłby mi pokazać jak sie zabierać do takich.

1) Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p - 3}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

2) Wykaż, że liczba naturalna postaci \(\displaystyle{ 3k + 2, k N}\), nie może być kwadratem liczby naturalnej.

3) Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5^{120} - 4^{60}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 21}\).

4) Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n(n + 1)}}\) jest niewymierna dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) - jest bo już i basta nienawidze tych zadań

Zdanie mojego nauczyciela, które chyba na zawsze zapamiętam - "...teraz moglibyśmy podzielić...ale zakładamy, że nie potrafimy dzielić..."

\(\displaystyle{ 5^{120}- 4^{60}= 25^{60}-4^{60}}\)

teraz 21 ma byc dzielnikiem tej liczby czyli skorzystamy z modulo

\(\displaystyle{ n|(a-b) \Leftrightarrow a \equiv b (mod n)}\)

\(\displaystyle{ 21|(25^{60}-4^{60} ) \Leftrightarrow 25^{60} \equiv 4^{60} (mod 21)}\) to trzeba pokazać

\(\displaystyle{ 25 \equiv 4 (mod 21)}\)

\(\displaystyle{ 25^3 \equiv 1 \equiv 4^3 (mod 21)}\)

\(\displaystyle{ (25^3)^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \equiv (4^3)^{20} (mod 21)}\)

zatem

\(\displaystyle{ 25^{60} \equiv 4^{60} (mod 21) \Leftrightarrow 21|(25^{60}-4^{60})}\)

[ Dodano: 18 Grudzień 2006, 11:31 ]
1. (2p - 3)====n*n
zauwaz , ze 2p-3 jest zawsze liczba nieparzysta !!!!!!!!!
wiec nasze "n" musi tez byc liczba nieparzysta
2p-3==1, 2p-3==9, 2p-3==25, 2p-3==81, 2p-3==121, ...

czyli 2p bedzie odpowiednio równe 4, 12,28,84,124,....
zatem 2p=4 => p=2, a potem widać ze kazda liczba jest wielokrotnością 4 czyli wychodzi ze p bedzie zawsze liczba parzysta- a my chcemy by była to liczba pierwsze- wiec musi byc nieparzysta

\(\displaystyle{ 2p-3===(2k-1)^2}\) gdzie k= 1,2,3,4,5,...
\(\displaystyle{ 2p-3===4k^2-4k+1}\)
\(\displaystyle{ 2p===4k^2-4k+4}\),
\(\displaystyle{ 2p===4(k^2-k+1)}\)
\(\displaystyle{ p===2(k^2-k+1)}\)