Matematyka.pl

Rozwiązaując zadania z Krysickiego natrafiłem na kilka przykładów, których nie potrafię rozwiązać:

\(\displaystyle{ 15.74 \int e^{-2x}sin3x dx}\)
\(\displaystyle{ 15.75 \int e^{x}cos \frac{2}{3}x dx}\)
Tutaj domyślam się, że trzeba podstawic za \(\displaystyle{ 3x}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x}\) lecz po podstawieniu dostaje złożony wykładnik w liczbie \(\displaystyle{ e}\). Przez co mam problemy z całkowaniem przez części, a innego pomysłu nie mam. Prosiłbym o przykładowe rozwiązanie jednego z powyższych przykładów gdyż nie wiem jak z tym sobie poradzić

Problemy mam również z tymi:
\(\displaystyle{ 15.77 \int (ln|x|) ^{3} dx}\)
\(\displaystyle{ 15.78 \int \frac{(ln|x|) ^{2} }{ x^{5} } dx}\)
\(\displaystyle{ 15.79 \int \sqrt{x}(ln|x|) ^{3} dx}\)
\(\displaystyle{ 15.80 \int \frac{(ln|x|)}{ x^{4} } dx}\)

Z kolei w tych przykładach wiedziałbym jak rozwiązać każdy z powyższych gdyby zamiast \(\displaystyle{ |x|}\) był \(\displaystyle{ x}\). Proszę o wskazanie jak poradzić sobie z tym \(\displaystyle{ |x|}\)

W pierwszych przykladach od razu rob przez czesci

Modul jest tylko po to aby logarytm mial dodatni argument. Definicja modulu i jedziesz

proszę jasniej...
Ad 1. przez częsci odrazu, więc pochodna z \(\displaystyle{ sin3x}\) lub \(\displaystyle{ cos \frac{2}{3}x}\) ile wynosi??
Ad 2. w takim wypadku mam policzyć tą samą całkę 2 razy. Raz dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i drugi raz dla \(\displaystyle{ x<0}\) przy czym przed tą całką umieścić minus?

być może moje pytania wydają się wam błache lecz dopiero zaczynam przygodę z całkami i nie bardzo się orientuję a chciałbym się tego dobrze nauczyć bo jest to podstawą do późniejszych zagadnień jakie będę przerabiał.

Ad 1. przez częsci odrazu, więc pochodna z \(\displaystyle{ sin3x}\) lub \(\displaystyle{ cos \frac{2}{3}x}\) ile wynosi??

Pytanie trochę nie na miejscu - jeśli nie potrafisz dość dobrze liczyć pochodnych, to musisz się cofnąć o parę kroków i to nadrobić, zanim zaczniesz całki.
Od razu dorzucę wskazówkę, że trzeba policzyć przez części dwukrotnie, zachowując oczywiście konsekwencję w ustalaniu funkcji różniczkowanej i całkowanej.

Ad 2. w takim wypadku mam policzyć tą samą całkę 2 razy. Raz dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)i drugi raz dla\(\displaystyle{ x<0}\) przy czym przed tą całką umieścić minus?

Generalnie tak, chociaż w przykładzie nr 3 dziedzina całej funkcji wyklucza drugi przedział. Poza tym nie umieszczasz minusa przed całką, a przed argumentem logarytmu - \(\displaystyle{ ln(-x)}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ -lnx}\).

dziękuję za rady, w końcu policzyłem te przykłady.

Ad 1. Przepraszam za pytanie ale nie zauważyłem że są to funkcje złożone.