owad - rozkład warunkowy

[aisak7]

Owad składa X jajeczek zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem lambda, a potomek owada wylęga się z jaja z prawdopodobieństwem p, niezależnie od innych. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa liczby potomków oraz rozkład warunkowy liczby jajeczek względem liczby potomków.

Prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu.

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że liczba potomków będzie wynosiła \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ B_i}\) - zdarzenie, że owad zniesie \(\displaystyle{ i}\) jajeczek, \(\displaystyle{ i=0,1,\ldots}\)

\(\displaystyle{ P(B_x)=\frac{\lambda^x}{x!}\cdot e^{-\lambda}\, , \, \lambda >0}\)

\(\displaystyle{ P(A | B_i)=\begin{cases} 0 \, , \, i < l \\ {i \choose l} \cdot p^l \cdot (1-p)^{i-l} \, , \, i \geq l \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ B_i}\) - rozłączne, wyczerpują wszystkie możliwości, zatem stanowią rozkład przestrzeni, stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite

\(\displaystyle{ P(A) = \sum \limits_{i=0}^{\infty} P(A|B_i) \cdot P(B_i)=\sum \limits_{i=l}^{\infty} {i \choose l} \cdot p^l \cdot (1-p)^{i-l} \cdot \frac{\lambda ^i}{i!} \cdot e^{-\lambda}=}\)

\(\displaystyle{ =e^{-\lambda} \cdot p^l \cdot \sum \limits_{i=l}^{\infty} \frac{i!}{l!(i-l)!} \cdot \frac{\lambda^i}{i!} \cdot (1-p)^{i-l}=e^{-\lambda} \cdot p^l \cdot \frac{1}{l!} \cdot \lambda ^ l \cdot \sum \limits_{i=l}^{\infty} \frac{1}{(i-l)!} \cdot (1-p)^{i-l} \cdot \lambda^{i-l}=}\)

\(\displaystyle{ =e^{-\lambda} \cdot p^l \cdot \frac{1}{l!} \cdot \lambda ^l \cdot \sum \limits_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} \cdot (1-p)^j \cdot \lambda ^ j\stackrel{\star}{=}e^{-\lambda} \cdot p^l \cdot \frac{1}{l!} \cdot \lambda ^l \cdot e^{(1-p)\lambda}=e^{-p\lambda} \cdot \frac{(p\lambda)^l}{l!}}\)

\(\displaystyle{ \star \, : \, \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=e^x}\)

[aisak7]

dziękuje:)