Matematyka.pl

Wyrazy ciągu geometrycznego (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 93\\a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 372\end{cases}}\)Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W rozwiązaniu, które mam, nie rozumiem jednego fragmentu. Mianowicie:
na początku odejmujemy stronami - ok. Potem zmiana \(\displaystyle{ a_{7}}\) na \(\displaystyle{ a_{1} \cdot q^{6}}\) itd. - OK. Ale potem mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{1}(q^{6}+q^{5}-q-1)=3 \cdot 93 \Rightarrow a_{1}=3}\)

Skąd niby to wiadomo? Dlaczego to co w nawiasie ma się równać 93? To jedyny punkt rozwiązania, którego nie rozumiem, bardzo proszę o wytłumaczenie.

Ja bym to liczyla tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 93 \\ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 372 \end{cases}}\)

z I równania
\(\displaystyle{ a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 = 93}\)
\(\displaystyle{ a_1(1+q + q^2 + q^3 + q^4) = 93}\)

z II równania
\(\displaystyle{ a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 +a_1q^5+a_1q^6=372}\)
\(\displaystyle{ a_1(1+q + q^2 + q^3 + q^4)q^2 =372}\)
\(\displaystyle{ 93q^2 =372}\)
\(\displaystyle{ q^2=4}\)

\(\displaystyle{ q=2}\) lub \(\displaystyle{ q=-2}\)
i teraz liczysz \(\displaystyle{ a_1}\), będą dwa rozwiązania