Matematyka.pl

Witam,proszę o pomoc.
Liczby x i y spełniają równanie

\(\displaystyle{ (x+5)^2+(y-12)^2=196}\)

Należy wyznaczyć minimalną wartość \(\displaystyle{ x^2+y^2}\)

Moją obserwacją jest, że kwadrat odległości punktu należącego do okręgu od początku układu współrzędnych jest właśnie równy \(\displaystyle{ x^2+y^2}\)

Nie jestem pewien czy odpowiedni dział

Czyli masz znaleźć punkt z okręgu znajdujący się najbliżej środka.
Przez ten punkt będzie przechodził odcinek łączący środek okręgu i początek układu współrzędnych. (dlaczego?)

Wyznacz prostą w której ten odcinek się zawiera i znajdź punkt wspólny tej prostej i okręgu.

Gdyby ktoś preferował inne podejście, to rozwiązanie jest równoważne znalezieniu maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ 10x-24y}\) przy danym warunku. Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza:

\(\displaystyle{ \left(10(x+5)+24(12-y)\right)^2\le\left(10^2+24^2\right)\cdot\left((x+5)^2+(12-y)^2\right)=26^2\cdot 14^2}\)

Trzeba tylko pamiętać o sprawdzeniu czy/kiedy równość może zachodzić.