Matematyka.pl

Witam,

Znalazłem następujące "rozumowanie" w książce do rach. prawdopodobieństwa, którego nie bardzo rozumiem. Mając liczbę \(\displaystyle{ N \in \mathbb{N}}\):

Zapiszmy \(\displaystyle{ N}\) w postaci \(\displaystyle{ N=a+10b+...}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,...}\) to liczby od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 9}\). Wówczas \(\displaystyle{ N^3=a^3+30a^2b+...}\). Stąd widać, że na dwie ostatnie cyfry \(\displaystyle{ N^3}\) mają wpływ tylko wartości a i b.

Chodzi mi o fragment od "Wówczas" do "Stąd". Jeśli zastąpimy trzykropek wyrażeniem \(\displaystyle{ 100W}\), to korzystając ze wzoru na sześcian sumy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ N^3=(a+10b+100W)^3=a^3+30a^2b+30ab^2+b^3+100W(...)}\).
O ile ostatni składnik rzeczywiście nie wpłynie na 2 ostatnie cyfry (bo można wyciągnąć 100 przed nawias), to po mojemu całe wyrażenie \(\displaystyle{ a^3+30a^2b+30ab^2+b^3}\) już może. Skąd zatem wzięło się zacytowane rozumowanie?

Z góry dzięki

Jacek-- 21 lutego 2011, 21:50 --Po przeczytaniu własnego posta znalazłem błąd w moim liczeniu \(\displaystyle{ N^3}\):

Powinno być:
\(\displaystyle{ N^3=(a+10b+100W)^3=a^3+30a^2b+300ab^2+1000b^3+100W(...)=\\=a^3+30a^2b+100(W+...)}\).
Potęgowałem \(\displaystyle{ b}\) zamiast \(\displaystyle{ 10b}\).
Zostawiam post, może komuś się przyda.

Pozdrawiam,
Jacek

Może zrozumiesz to na przykładzie:

\(\displaystyle{ N= 247= 7+ 10 \cdot 4+ 100 \cdot 2 \Rightarrow a= 7, \ b= 4\\
N ^{3}= 247 ^{3}= 15069223\\
Ostatnie \ dwie \ cyfry \ N ^{3} \ to \ 23 \ sprawdzamy \ wzor\\
a ^{3}+ 30a ^{2}b= 7 ^{3}+ 30 \cdot 7 ^{2} \cdot 4= 343+ 5880= 6223 \\
tutaj \ tez \ dwie \ ostatnie \ cyfry \ to \ 23 \ czyli \ teza \ jest \ sluszna}\)

Nie ma sensu rozpisywać kolejnych składników sześcianu, bo kolejne liczby będą miały na końcu co najmniej dwa zera, więc nie będą wpływały na dwie ostatnie cyfry.

kropka+ pisze: tutaj tez dwie ostatnie cyfry to 23 czyli teza jest sluszna[/latex]

Nie.

O co chodzi smigol?

kropka+ pisze:O co chodzi smigol?

Bo w tezie jest mowa o wszystkich liczbach naturalnych.

Wyjaśniłąm na przykładzie, że nieważne są następne liczby rozpisywane przy \(\displaystyle{ N ^{3}}\) i uzasadniłam dlaczego, więc uważam, że dobrze to wytłumaczyłam. Oczywiście formalnie powinnam napisać "Dla naszego przykładu teza jest słuszna".-- 21 lut 2011, o 22:48 --

Ja się domyślam, że Ty wiesz o co chodzi, ale potem ludzie nie rozróżniają kwantyfikatorów.

Dzięki. Tj. dopisałem do mojego posta, popełniłem błąd w przekształceniach. Jego odkrycie wyjaśniło wszystko.