LXII Olimpiada Matematyczna II etap.

[smigol]

No to tak dla porządku

[ElusiveN]

Myślałem, że będę cwany i sam założę, ale nie wyszło.
Idę już na pociąg. Połamania długopisów!

[Dolin]

Powodzenia wszystkim!

[Qń]

Ja też życzę powodzenia wszystkim. Nie zapomnijcie wrzucić tu zadań, jak tylko ktoś będzie miał dostęp do komputera.

Q.

[mariolawiki1]

Powodzenia jutro!

[XMaS11]

Zadania do zrobienia, a w 5 godzin to już na pewno. Drugie było dwa lata temu na Zwardoniu : zadanie nr 6, grupa młodsza. SWistak dopiero po 195min wyszedl heheheh.

[Mruczek]

Zadania - II etap LXII OM - dzień pierwszy

1. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {(x-y)( x^{3} + y^{3}) =7\\ {(x+y)( x^{3} - y^{3}) =3 \end{cases}}\)

2. Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB<BC}\) oraz \(\displaystyle{ AD<CD}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą odpowiedznio na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\), przy czym \(\displaystyle{ PB=AB}\) oraz \(\displaystyle{ QD=AD}\). Punkt M\(\displaystyle{ }\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PQ}\). wykazać, że jeśli kąt \(\displaystyle{ BMD}\) jest prosty, to na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.

3.Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\),...,\(\displaystyle{ x_{2011}}\), \(\displaystyle{ y_{1}}\), \(\displaystyle{ y_{2}}\),...,\(\displaystyle{ y_{2011}}\) iloczyn
\(\displaystyle{ (2 x_{1} ^{2} +3 y_{1} ^{2})(2 x_{2} ^{2} +3 y_{2} ^{2})...(2 x_{2011} ^{2} +3 y_{2011} ^{2})}\)
nie jest kwadratem liczby całkowitej.

[mariolawiki1]

Jak wam poszło? Ja zrobiłam dwa zadania i jestem na siebie wściekła, bo nie zrobiłam 3-go, a było w moim zasięgu.
Powodzenia jutro!

[Swistak]

1 i 3 - obraza inteligencji uczestników
2 - moje rozwiązanie jest rly harde, ale ogólnie to sporo ludzi porobiło, chyba nawet więcej niż zad. 3, co mnie niesamowicie dziwi
A co do tego, że wyszedłem dopiero po 195 minutach, to po prostu nie znałem 2 i mi zajęło 1,5h . A 1 i 3 oczywiście epsilon. No i dość dokładnie opisywałem i się uzbierało 3h 15 min ;p. Może jakbym się nie uparł, że chcę 2 rozwiązać ze składania obrotów, to bym jakoś prędzej zrobił, ale tak przynajmniej jestem dumny, że udało mi się tak pocisnąć .

Koksiaste rozwiązanie 2 ze składania obrotów:    

Przez fajną stronę prostej CD oznaczmy tę, po której NIE leży punkt B. Przez E oznaczmy odbicie symetryczne B względem M.
Lemat 1: Punkt E leży po fajnej stronie prostej CD.
Dowód: Skoro PM=MQ oraz BM=ME, to PBQE jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ \vec{BP}=\vec{QE}}\), co dowodzi tezy lematu.
Ustalmy, że obracamy zgodnie ze wskazówkami zegara.
Rozpatrzmy złożenie 3 obrotów: o środku w B o kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle B}\), o środku w D o kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle D}\) i o środku w M o kąt \(\displaystyle{ 180^{o}}\). Zauważmy, że punkt P przechodzi w tych obrotach kolejno na punkty A, Q, P, zatem obrót będący złożeniem tych 3 obrotów jest obrotem o środku w P i o kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle B + \sphericalangle D +180^{o}}\). Przez B' oznaczmy obraz punktu B w tym obrocie, będącym złożeniem tych trzech. Punkt P jest środkiem tego obrotu, zatem PB=PB'. Punkt B po obrocie o środku w B przejdzie na punkt B. Oznaczmy teraz przez F obraz punktu B w obrocie o środku w D i o kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle D}\). Musi zachodzić BD=DF, a także FM=MB'. Skoro FM=MB' i MP=MQ, to PB'QF jest równoległobokiem, czyli QF=PB'=PB. Zauważmy, że punkt F leży po fajnej stronie prostej CD, gdyż punkt A w obrocie o środku w D i o kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle D}\) przechodzi na Q, który leży na CD, a \(\displaystyle{ \sphericalangle CDB < \sphericalangle D}\). Rozpatrzmy miejsce geometryczne punktów potencjalnych punktów F, czyli takich, które spełniają warunki QF=PB, DF=BD oraz F leży po fajnej stronie CD. Z równości odcinków wynika, że muszą się zawierać w przecięciu 2 okręgów: 1 o środku w Q i promieniu PB, a drugiego o środku w D i promieniu BD. Te okręgi mogą mieć co najwyżej 2 punkty wspólne, gdyż się nie pokrywają i ponadto leżą one po różnych stronach prostej CD, gdyż oba środki tych okręgów leżą na tej prostej. Zatem istnieje co najwyżej 1 taki punkt, który spełnia obie te równości odcinków i leży po fajnej stronie prostej CD. Zauważmy, że punkt E z oczywistych względów spełnia obie te równości i z lematu 1 leży po fajnej stronie prostej CD, zatem E=F. No i juz jesteśmy w domu, bo teraz wiemy, że B=B', zatem obrót będący złożeniem tych trzech jest identycznością (ma 2 punkty stałe), czyli jest obrotem o wielokrotność 360 stopni, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle B + \sphericalangle D=180^{o}}\). c. K. u. z. s.

[kaszubki]

No nie :/
Nie zrobiłem ani pierwszego, ani trzeciego ;( Ale za to zrobiłem drugie bardzo fajnym sposobem:

Ukryta treść:    

Punkt \(\displaystyle{ C}\) nie jest potrzebny, wywalamy go z rysunku.
Odbijamy wszystko symetrycznie względem \(\displaystyle{ M}\) i uzyskujemy romb \(\displaystyle{ BDB'D'}\). Trójkąty \(\displaystyle{ BDA}\) i \(\displaystyle{ B'DQ}\) są przystające (bbb), więc wystarczy policzyć kąty \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ BQD}\).

[Swistak]

O w dupsko, ale nieskończenie proste rozw. zad. 2 !!! ARGH! Widziałem już wzorcówkę i jeszcze jedno rozw. i one były dużo prostsze od mojego, ale i tak były nieskończenie razy hardsze od tego!

[tkrass]

Ja zrobiłem cztery zadania, a z moich znajomych chyba nikt nie odwrócił kartki z zadaniami na drugą stronę

Drugie też mam bardzo ładnie:

Ukryta treść:    

Odbijam P i Q względem odpowiednio B i D uzyskując P' i Q'. P'Q i Q'P przecinają się w W. Wtedy oczywiście P'AWP leżą na jednym okręgu o środku B. Dalej liczenie kątów.

[Qń]

Pierwsze nadaje się raczej na OMG.
Drugie jest prostszą wersją zadania 2 z II etapu XLVI OM - akurat w środę z moim podopiecznym zaglądaliśmy do tamtego II etapu, co prawda nie robiąc rzeczonego zadania do końca, ale zatrzymując się na idei, która tutaj wystarcza. Mam nadzieję, że to się przydało.
Trzecie według mnie nie jest "obrazą dla inteligencji" - przeciwnie, jestem zdania, że to najtrudniejsze zadanie z pierwszego dnia (choć też żaden kosmos).

Niemniej zadania są stosunkowo łatwe (jak na II etap rzecz jasna, bo obiektywnie oczywiście są trudne), jeśli jutro też tak będzie, to zapewne próg będzie dość wysoki.

Q.

[fafner]

Jak zrobić 3? nam nie rozdawali rozwiązań po olimpiadzie dlatego pytam

[adamm]

vide 3:
a ja się babrałem mod 6 , bo przecież co mi tam po 3...