Renty Kapitałowe - wzory

Popyt, podaż, kapitalizacja, rynki finansowe. Mikroekonomia. makroekonomia, finanse itp...
Awatar użytkownika
telemann
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 18 lut 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn/Kraków
Pomógł: 1 raz

Renty Kapitałowe - wzory

Post autor: telemann » 21 lut 2011, o 02:15

Renty kapitałowe(Annuity)
Zauważyłem, że pada wiele pytań dotyczących rent kapitałowych, więc poniżej umieszczam podstawowe info na ten temat. Mam nadzieję, że okażą się przydatne

Rentą nazywamy ciąg płatności (rat) dokonywanych (zazwyczaj) w równych odstępach czasu i równych wartościach. Cechami charakterystycznymi dla takich przepływów są:
  • stopa procentowa,
  • ilość rat,
  • długość okresu bazowego (odstępów czasowych między kolejnymi płatnościami),
  • sposób naliczania odsetek,
  • moment płatności.

Renta zgodna (n=k)

Z rentą zgodną mamy do czynienia, gdy liczba okresów kapitalizacji w roku, jest równa liczbie płatności - okresy te są zgodne. Moment wpłacania (wypłacania) środków w okresie bazowym określamy na dwa sposoby:
  • z dołu - kiedy wpłata (wypłata) jest dokonywana na koniec danego okresu
  • z góry - kiedy wpłata (wypłata) jest dokonywana na początku danego okresu
\(\displaystyle{ PV _{z dolu}=A \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{k} }{n} \right) ^{-k \cdot t} }{ \frac{r _{k} }{n} }\\
PV _{z gory}=A \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{k} }{n} \right) ^{-k \cdot t} }{ \frac{r _{k} }{n} } \cdot \left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right)\\
FV _{z dolu}=A \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{k \cdot t}-1 }{ \frac{r _{n} }{n} } \\
FV _{z gory}=A \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{k \cdot t}-1 }{ \frac{r _{n} }{n} } \cdot \left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right)}\)

gdzie,
PV - wartość obecna
FV - wartość przyszła
A - wysokość raty
\(\displaystyle{ r _{n}}\) - roczna stopa procentowa
k - liczba płatności w ciągu roku
n - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku równa liczbie płatności w ciągu roku
t - ilość lat
k \(\displaystyle{ \cdot}\) t - liczba wszystkich rat
\(\displaystyle{ \hline}\)
Renta niezgodna (n > k)

W tym wypadku zajmiemy się rentą w której ilość okresów kapitalizacji w roku jest większa niż liczba wpłacanych rat (na przykład kapitalizacja miesięczna, a wpłaty kwartalne). Jedyna modyfikacja powyższych wzorów polega na podmienieniu wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{r _{n} }{n}}\) na \(\displaystyle{ \frac{r _{k} }{k}}\), które wyliczymy za pomocą następującego wzoru.
\(\displaystyle{ \frac{r _{k} }{k} = \sqrt[k]{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{n} } -1}\)

\(\displaystyle{ \hline}\)

Renta niezgodna (k > n)

Dla liczby płatności większych niż okresy kapitalizacji można zastosować metodę z przypadku, gdy n > k. Drugim podejściem jest zastosowanie modelu wykładniczo-liniowego.

\(\displaystyle{ PV _{z dolu} = A \cdot \left(m+ \frac{m-1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{-n \cdot t} }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
PV _{z gory} = A \cdot \left(m+ \frac{m+1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{-n \cdot t} }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
FV _{z dolu} = A \cdot \left(m+ \frac{m-1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{n \cdot t} -1 }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
FV _{z gory} = A \cdot \left(m+ \frac{m+1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{n \cdot t} -1 }{ \frac{r _{n} }{n} }\\}\)


gdzie,
m - liczba płatności w jednym okresie kapitalizacji
\(\displaystyle{ \hline}\)
Renta wieczysta (perpetuity)
Renta wieczysta jest wypłacana nieskończenie długo. Nie można wyznaczyć jej wartości przyszłej.

\(\displaystyle{ PV _{z dolu}= \frac{A}{i} \\
PV _{z gory} = \frac{A}{i} \cdot (1+i)}\)


gdzie,
i - stopa procentowa w okresie płatności
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany