Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem.
Treść brzmi:

a) Sprawdź, że wektory \(\displaystyle{ e_{1}=(0,0,0,1), e_{2}=(1,2,0,0), e_{3}=(1,2,1,0), e_{4}=(0,1,1,0)}\) można przyjąć za bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)

b) Znajdź wartość odzworowania liniowego \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}}\) dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) jeśli \(\displaystyle{ f(e_{1})=(1,-1,2),\ f(e_{2})=(-2,2,-4)}\) natomiast \(\displaystyle{ e_{3}\ e_{4} \in ker f}\)

Co do podpkt. a, to sprawdzam liniową niezależność i wychodzi, że wektory są liniowo niezależne, więc można je przyjąć za bazę.

A jeśli chodzi o b, to szczerze powiedziawszy nie wiem jak się za to zabrać.
Mam rozumieć że \(\displaystyle{ e_{3}=(0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ e_{4}=(0,0,0)}\) ?

Zrobiłem tak ; \(\displaystyle{ x(1,-1,2) + y(-2,2,-4) + z(0,0,0) + t(0,0,0)}\) i po przekształceniu wychodzmi mi \(\displaystyle{ (x-2y,\ -x+2y,\ 2x-4y)}\) ale to chyba jeśli miałbym baze kanoniczną, a jeśli mam baze z pkt. a, to nie wiem czy to jest dobrze.

Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ f(e_{3})=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(e_{4})=(0,0,0)}\)

odwzorowanie masz dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(x_1 ,x_2 , x_3 ,x_4 ) = \\
(a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} +a_{14} x_{4}, \\
a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3} +a_{24} x_{4}, \\
a_{31} x_{1} +a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3} +a_{34} x_{4})}\)

teraz pouzupełniaj danymi liczbami i rozwiąż układ równań


za dużo razy skopiowałem, było : \(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^4}\) a ma być:
\(\displaystyle{ R^4 \rightarrow R^3}\)

A czym jest \(\displaystyle{ a_{ij}}\)?

są to współczynniki... czyli nasze niewiadome, bo chyba szukasz odwzorowania liniowego...

to może nie czym są, ale jak je wyznaczyć, bo nie za bardzo wiem :/

no to zacznę:
\(\displaystyle{ f(0,0,0,1)=(1,-1,2) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{14} =1 \\ a_{24} =-1 \\ a_{34} =2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(1,2,0,0)=(-2,2,-4) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{13} =-2 \\ a_{23} =2 \\ a_{33} =-4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(1,2,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{12} =0 \\ a_{22} =0 \\ a_{32} =0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(0,1,1,0)=(0,0,0) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} =0 \\ a_{21} =0 \\ a_{31} =0 \end{cases}}\)

więc:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(-2z+t,2z-t,-4z+2t)}\)

tak?

no raczej nie tak....

\(\displaystyle{ f(1,2,0,0)=(-2,2,-4) \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11} +2 a_{12} =-2 \\ a_{21} +2 a_{22} =2 \\ a_{31} +2 a_{32} =-4 \end{cases}}\)

podstawiasz tylko do wzoru...

ok, dzięki za oświecenie
musze przyznać, że całkowicie mnie zaćmiło ;p