Matematyka.pl

Czy każda baza przestrzeni unitarnej jest ortogonalna?

Niech \(\displaystyle{ dim V = n}\). Jeśli weźmiemy dowolny wektor z bazy \(\displaystyle{ V}\), powiedzmy \(\displaystyle{ v_i}\), i jego dopełnienie ortogonalne, to dopełnienie ortogonalne musi być wymiaru \(\displaystyle{ n-1}\), zgadza się? W związku z tym wszystkie pozostałe wektory z bazy lądują w dopełnieniu ortogonalnym \(\displaystyle{ v_i}\), czyli muszą być do niego ortogonalne.

Co jest nie tak z powyższym rozumowaniem?

Nie siedzę w temacie, ale przeczytałem sobie definicję na Wikipedii i coś mi tu nie pasuje. Według definicji dopełnienie ortogonalne ma podprzestrzeń przestrzeni unitarnej. Czy jeden wektor może mieć dopełnienie? Tak na logikę stosując jednak tę definicję dla jednego wektora, to wymiar \(\displaystyle{ n-1}\) intuicyjnie się zgadza, wybraziłem to sobie w \(\displaystyle{ R^{3}}\)-- 20 lut 2011, o 19:39 --Co do drugiej części rozumowania, to wystarczy sie zastanowić, czy w \(\displaystyle{ R^{3}}\) wektory bazowe muszą być wzajemnie prostopadłe. Muszą?