odległość punktu od prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
atenix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 lut 2011, o 10:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: częstochowa

odległość punktu od prostej

Post autor: atenix » 20 lut 2011, o 17:35

zad. 1
oblicz odległość między prostymi równoległymi k i l jeśli:
k: x+y+2=0
l: x+y-4=0
zad.2
Dana jest prosta k :4x-3y+C oraz punkt (-1,1) wyznacz liczbę C, dla której odległość punktu P od prostej k jest równa
a) 1
Nie bardzo wiem jak obliczyć pierwsze zadanie, przypuszczam że trzeba obliczyć punkt na jednej z tych prostych i zastosować wzór na odległość punktu od prostej, ale nie wiem jak.
Co do drugiego to wyliczenia zrobiłam przekształcając wzór na odległość punktu od prostej i wyszło mi C
=12 ale w odpowiedzi jest że może to być też 2 i nie wiem skąd ten drugi wynik.
z góry dzięki za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

odległość punktu od prostej

Post autor: lukasz1804 » 20 lut 2011, o 18:22

zad. 1. Odległość między prostymi \(\displaystyle{ k,l}\) to odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ A}\) na jednej z prostych od drugiej z nich. Niech np. \(\displaystyle{ A=(2,2)\in l}\). Stąd i ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy \(\displaystyle{ d(k,l)=d(A,k)=\frac{|1\cdot 2+1\cdot 2+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}}\).

zad. 2. Mamy \(\displaystyle{ 1=\frac{4(-1)-3\cdot 1+C|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|C-7|}{5}}\), skąd \(\displaystyle{ |C-7|=5}\). Łatwo widać, że musi być \(\displaystyle{ C=2}\) lub \(\displaystyle{ C=12}\).

atenix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 lut 2011, o 10:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: częstochowa

odległość punktu od prostej

Post autor: atenix » 20 lut 2011, o 19:15

wielkie dzięki
no jasne przecież to wartość bezwzględna.
Powiedz mi czy w każdym przypadku można zastosować tę samą zasadę czy tylko w przypadku gdy x i y w obu przypadkach mają te samą wartość bo próbowałam zrobić inny przykład gdzie
k: 2x-y+3=0
l: -3x+1,5y-2=0
i wciąż wychodzi zły wynik
Powiedz jaka jest ogólna zasada przy rozwiązywaniu zadań tego typu, wiem że może to jest oczywiste ale przyszło mi wrócić do matematyki po dość długim czasie i nie wszystko jest od razu jasne.
jeszcze raz wielkie dzięki

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

odległość punktu od prostej

Post autor: lukasz1804 » 20 lut 2011, o 19:42

Ponieważ po prawych stronach równań prostych jest zero, można śmiało podzielić strony jednego z równań przez pewną liczbę, doprowadzając do identycznych wartości przy \(\displaystyle{ x,y}\). W tym przypadku można np. równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\).

Pozdrawiam ciepło

atenix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 18 lut 2011, o 10:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: częstochowa

odległość punktu od prostej

Post autor: atenix » 20 lut 2011, o 20:07

Dzięki teraz wyszło ok
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ