Matematyka.pl

Witam,
mam okropny problem z ekstremami funkcji. Umiem rozwiązać podstawowe zadania, które są w podręczniku, ale pan na kolosie daje jakieś inne i jeszcze z przedziałami. Nie wiem, jak mam je zrobić...
Oto ich treści:
a) \(\displaystyle{ y=x \cdot e^{x}}\) w przedziale [-2, 2]
b) \(\displaystyle{ y=x \cdot \ln \frac{x}{5}}\) w przedziale [1,5]
c) \(\displaystyle{ y= \frac{9}{x} + \frac{25}{1-x}}\) w przedziale (0,1)
d) \(\displaystyle{ y=x- \ln x}\) w przedziale [0,1]

np. ten ostatni przykład...obliczam pochodną \(\displaystyle{ y'=1- \frac{1}{x}}\)
pochodna będzie równa zero dla \(\displaystyle{ x=1}\).... i to jest maimum czy minimum?
We wcześniejszych zadaniach zawsze miałam dwa punkty zerowe i nie było problemu...a tu takie coś.

Bardzo proszę o poświęcenie mi trochę czasu i pomoc.

najpierw o wszystkie pierwsze pochodne prosimy

Ok więc:

a) \(\displaystyle{ y'= e^{x} + x \cdot e^{x}}\)

b) \(\displaystyle{ y'=\ln \frac{x}{5}+1}\)

c) \(\displaystyle{ y'= \frac{-9}{ x^{2}} + \frac{25}{(1-x)^{2}}}\)

d) \(\displaystyle{ y'=1- \frac{1}{x}}\)

pochodne są zle policzone

ok, poprawiłam - teraz jest ok?
(tak to jest gdy się człowiek spieszy... )

Jeśli są dobrze, to od razu dodam dla jakich wartości x pochodnę równają się zero:

a) dla \(\displaystyle{ x=-1}\)
b) nie mam pojęcia...
c) dla \(\displaystyle{ x=\left| \frac{3}{8} \right|}\) (albo po prostu dla \(\displaystyle{ x=\frac{3}{8}}\) ) ?
d) dla \(\displaystyle{ x=1}\)

i nie wiem czy to dobrze i które to max a które min...

tez mam z tym problem.... (chyba jestesmy na tych samych studiach)
hm, pochodna c jest chyba nie do końca dobra, powinien być tam chyba minus:

c) \(\displaystyle{ y'= \frac{-9}{ x^{2}} - \frac{25}{(1-x)^{2}}}\)

tylko tez nie wiem, co dalej

Czy ktoś wie, co dalej muszę zrobić, by rozwiązać poprawnie te zadania?

a) ok;

b) \(\displaystyle{ \ln \frac{x}{5} = -1}\) - czemu to jest równoważne wg definicji logarytmu?

c) pochodna ok, ale rozwiązanie źle: spróbuj znaleźć swój błąd lub zamieść tu obliczenia;

d) ok.

W każdym z przykładów, wyznaczone punkty \(\displaystyle{ x_0}\) są podejrzane o ekstremum. Teraz należy upewnić się, że wyznaczone miejsca zerowe leżą w rozpatrywanym przedziale. Jeśli nie, ekstremum przedziału będzie na tym krańcu* przedziału, który znajduje się bliżej \(\displaystyle{ x_0.}\) Jeśli tak, można postąpić na dwa sposoby:

\(\displaystyle{ \text{I}}\) Policzyć drugą pochodną i sprawdzić jej znak w wyznaczonym punkcie
\(\displaystyle{ \text{II}}\) Sprawdzić znak pochodnej dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1<x_0}\) i \(\displaystyle{ x_2>x_0}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0}\) oznacza miejsce zerowe pochodnej


Obydwa są równie dobre na sprawdzenie, czy funkcja

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Przed \(\displaystyle{ x_0}\) maleje, po - rośnie;
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Cały czas maleje;
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Przed \(\displaystyle{ x_0}\) rośnie, po - maleje;
\(\displaystyle{ 4^{\circ}}\) Cały czas maleje.

Przypadki \(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ 4^{\circ}}\) oznaczają brak ekstremów lokalnych \(\displaystyle{ \bigg(}\) wówczas bierze się krańce* przedziału; który to max., który to min.? - wystarczy pomyśleć :-] \(\displaystyle{ \bigg),}\) przypadek \(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) oznacza minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) oraz maximum na tym z krańców*, na którym funkcja przyjmuje większą wartość; \(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) oznacza maximum lokalne w \(\displaystyle{ x_0}\) i minimum lokalne na tym z krańców*, na którym funkcja przyjmuje mniejszą wartość.

* Jeśli rzeczony kraniec nie istnieje (bo przedział jest z tej strony otwarty), odpowiednie ekstremum również nie istnieje.

miejsca zerowe pierwszej pochodnej (poprawa)
b) \(\displaystyle{ x = \frac{5}{e}}\)
c) nie wiem, gdzie robię błąd w liczeniu:
\(\displaystyle{ y'= \frac{-9}{ x^{2}} + \frac{25}{(1-x)^{2}}}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{25}{(1-x)^{2}}}\) musi się równać \(\displaystyle{ \frac{9}{ x^{2} }}\)
zamieniam miejscami i wychodzi:
czyli \(\displaystyle{ 25x^{2} = 9{(1-x)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ 25x^{2} = 9(1-2x+ x^{2})}\)

\(\displaystyle{ 25x^{2} = 9-18x+9x^{2}}\)

\(\displaystyle{ 16x^{2}+18x-9 = 0}\)

delta = 900
pierwiastek z niej to 30
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-18-30}{32}=-\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-18+30}{32}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}}\)
czy teraz ok?

Teraz przejde do ekstremów z punktów sprawdzonych a) i d)
a) druga pochodna:
\(\displaystyle{ y''= \frac{1}{x}}\)
jak podstawię wcześniej wyliczony punkt* -1 to wychodzi -1 - czyli ujemne czyli to będzie minimum?

d)\(\displaystyle{ y''= - \frac{-x}{x^{2}}=\frac{x}{ x^{2}}}\)
jak podstawię wcześniej wyliczony punkt* 1 to wyjdzie 1 - czyli dodatnie czyli to będzie maksimum?

a co z tymi przedziałami?
a) -1 należy do [-2,2] więc jest ok?
d) 1 należy do [0,1] więc jest też ok?

*punkt czyli miejsce zerowe pierwszej pochodnej

\(\displaystyle{ (b), (c)}\) ok;

\(\displaystyle{ (a), (d)}\) - drugie pochodne źle policzone.
Jeśli druga pochodna w punkcie jest dodatnia, to w pewnym otoczeniu tego punktu pierwsza pochodna rośnie, zatem w punkcie może być tylko minimum lokalne.