Matematyka.pl

Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-a _{1})(x-a _{2})...(x-a _{n})-1}\) gdzie \(\displaystyle{ a _{1},a _{2},a _{n}}\) są parami różnymi liczbami całkowitymi, nie da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych stopnia niższego od n.

Zalozmy, ze mamy taki rozklad:

\(\displaystyle{ W(x)=W_1(x)W_2(x)}\)

i stopnie tych wielomianow sa mniejsze od stopnia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\).

\(\displaystyle{ W(a_i)=-1=W_1(a_i)W_2(a_i)}\) dla kazdego \(\displaystyle{ i=1,\ldots,n}\).

Zauwazmy, ze skoro tak, to w tych punktach \(\displaystyle{ W_1(a_i)=-W_2(a_i)}\), bo \(\displaystyle{ W_1(a_i)}\) i \(\displaystyle{ W_2(a_i)}\) jest liczba calkowita, a zatem musi byc \(\displaystyle{ \pm 1}\). A poniewaz tych punktow jest wiecej niz stopien ktoregokolwiek z tych wielomianow, to \(\displaystyle{ W_1(x)\equiv -W_2(x)}\). Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ W(x)=-W_1^2(x)}\). Ale \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } W(x) = +\infty}\), co jest niemozliwe wobec tego, ze wielomian ten jest zawsze nie wiekszy niz \(\displaystyle{ 0}\), co sugeruje prawa strona. Zatem - sprzecznosc. Rozklad taki nie istnieje.