Matematyka.pl

witam
czy moglby ktos wyznaczyc asymptoty funkcji
\(\displaystyle{ \ln\frac{x-1}{x}}\)

Badamy asymptoty dla "podejrzanego" punktu x = 0.

\(\displaystyle{ \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x-1}{x}=\infty \\ \\
\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x-1}{x}=\infty}\)

Zatem istnieje asymptota pionowa funkcji w punkcie x = 0.

Badamy czy istnieją asymptoty ukośne tudzież poziome:

\(\displaystyle{ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ \frac{\ln \frac{x-1}{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (x-1)-\ln (x)}{x}\underset{H}{\mathop{\overset{\left[ \frac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}\,}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=0=a \\ \\
\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \frac{x-1}{x}=0=b \\}\)

Zatem nasza asymptota pozioma (gdyż a = 0) jest określona funkcją y = 0.

Podsumowując: Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln \frac{x-1}{x}}\) ma asymptotę pionową w punkcie x = 0 oraz asymptotę poziomą w punkcie y = 0.

EDIT:

Nie jestem pewien czy w x = 1 też nie ma jakiejś asymptoty.

Źle dziedzina w ogole jest wyznaczona. Dziedzina to \(\displaystyle{ (- \infty ,0) \cup (1,+ \infty )}\) wiec asymptoty pionowe jednostronne moga byc w dwoch miejscach

Le_Quack pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \frac{x-1}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x-1)-\ln (x)}{x} \underset{H}{ \overset{\left[ \frac{\infty }{\infty } \right]}{=}} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}}\)

Użycie reguły de l'Hospitala jest niedozwolone. Mamy bowiem symbol

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \frac{x-1}{x}}{x} = \left[ \frac{ \ln 1}{+\infty} \right]}\)