Matematyka.pl

Witam.

Mam problem z następującymi zadaniami:

1. Oblicz \(\displaystyle{ \Im(z)}\) (część urojoną), gdzie:
\(\displaystyle{ z=\left( \frac{ \sqrt{2} - i \sqrt{2} }{- \sqrt{3}+i } \right) ^{60}}\)

2. Znajdź wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^{2} - (4+4i)z + 10i = 0}\)

3. Wyznacz wszystkie pierwiastki 5 stopnia liczby \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ z= \frac{1- i\sqrt{3} }{-i2}}\)

W zadaniu 1 i 3 nawet nie wiem jak zacząć

Zadanie 2

Liczę deltę, podstawiam:
\(\displaystyle{ a = 1\\
b = -(4+4i)\\
c = 10i}\)

\(\displaystyle{ \Delta = -(4+4i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10i\\
\Delta = -(16+32i-16) - 40i\\
\Delta = -72i\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-72i } \\
\\
\sqrt{-72i } = a + bi\\
-72i = a^{2} + 2abi - b^{2}}\)
I tutaj właśnie kończą się moje pomysły, nie wiem co dalej


Nie mam pomysłu jak się za nie zabrać. Od czego zacząć?
Proszę o pomoc

1. Wzór de Moivre'a

3. To samo

2. \(\displaystyle{ \sqrt{-72i }=\sqrt{- i } \cdot \sqrt{72}}\)

Czy z \(\displaystyle{ \sqrt{-72i }=\sqrt{- i } \cdot \sqrt{72}}\) należy coś jeszcze robić, czy jest to już gotowy pierwiastek z delty do podstawienia do wzoru na pierwiastki równania?

Zadanie 1 i 3 na razie zostawię w spokoju, ten wzór de Moivre'a jest dla mnie póki co czarną magią.

należy policzyć ten pierwiastek z liczby zespolonej

Wiem, że to prawdopodobnie źle, ale czy przynajmniej sposób rozumowania jest dobry?

\(\displaystyle{ W _{k} =\left| z\right|^n(cos(n \cdot \alpha) + isin (n \cdot \alpha ))}\)

Trzeba obliczyć \(\displaystyle{ \left|z\right|^n}\)

\(\displaystyle{ \left|z \right|= \sqrt{a ^{2}+b ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right|= \sqrt{0 ^{2}+\left( -1\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right|= \sqrt{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ \left|z\right|^n = 1 ^{2} = 1}\)

Więc podstawiam do wzoru na \(\displaystyle{ W _{k}}\)

\(\displaystyle{ W _{k} =1 \cdot (cos(n \cdot \alpha) + isin (n \cdot \alpha ))}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha}\) liczę ze wzoru \(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{a}{\left|z \right| }}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha}\) liczę ze wzoru \(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{b}{\left|z \right| }}\)

A więc \(\displaystyle{ cos\alpha = 0}\), \(\displaystyle{ sin\alpha = -1}\)


\(\displaystyle{ W _{k} =1 \cdot ( \frac{ \pi }{2} - i\frac{ \pi }{2}) = \frac{ \pi }{2} - i\frac{ \pi }{2}}\)

Czy to o coś takiego chodziło? Jeżeli nie, to gdzie jest błąd?