Matematyka.pl

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami. Bedę wdzięczny za pomoc. Oto zadania.

\(\displaystyle{ 1.}\)Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową modulo p.

\(\displaystyle{ 2.}\) Niech \(\displaystyle{ p \in P, p>2}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} \equiv (-1) ^{ \frac{p+1}{2} } (mod p)}\)

Zadanie pojawiło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

\(\displaystyle{ 1=\genfrac(){}{0}{-3}{p}=\genfrac(){}{0}{-1}{p} \cdot \genfrac(){}{0}{3}{p}=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \genfrac(){}{0}{3}{p}=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \genfrac(){}{0}{p}{3}\cdot \left(-1\right)^{\frac{\left (p-1\right)\left (3-1\right)}{4}}=\genfrac(){}{0}{p}{3} \equiv p^{\frac{3-1}{2}}\equiv p \pmod{3}}\)
Skąd natychmiastowa odpowiedź to wszystkie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\).