Matematyka.pl

wzór ogólny
\(\displaystyle{ x_{n} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a^{n} - b^{n}}}\)

Mam przypadek, gdy a,b są nieujemnymi liczbami rzyczywistymi, spełniającymi założenie i załóżmy, ze b>=a. Zauważmy, że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) (nie będe pisał dowodu). Załóżmy, że dla n zachodzi \(\displaystyle{ x_nb}\) i zalozmy, ze dla n zachodzi \(\displaystyle{ x_n>b}\) dla n+1 mamy \(\displaystyle{ x_{n+1}=a+b-\frac{ab}{x_n}>a+b-\frac{ab}{b}=b}\) czyli na mocy ind... Mając te dwie własności możemy łatwo stwierdzić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}x_n=b}\) ckd. Podejrzewam ze dla ujemnych a,b dowod bedzie wygladal podobnie, ale nie wiem jak bedzie dla a,b przeciwnych znakow. Pomysle nad tym pozniej.

[Edit]
Dla ujemnych a,b dowód analogiczny, tylko ciąg jest rosnący i ograniczony z góry. Jeśli a>b, i x=-a+b, gdzie a,b sa liczbami naturalnymi, to dowodzi się, że ciąg jest malejący i ograniczony z dołu. Ostatni przypadek pewnie też idzie analogicznie. Jak ktoś chce może sobie przeprowadzić dowód. W każdym razie nasz ciąg w każdym przypadku jest zbieżny do tej liczby, której wartość bezwzględna jest większa od drugiej (jeśli są sobie równe, to oczywiście do wartościm której są równe). Tą drugą część robiłem na szybko, więc możliwe, ze sa jakies bledy, ale chyba wiadomo o co chodzi i na jakim tricku opiera się rozwiązanie.

Dodajmy, że gdy \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ x_n=(1+\frac{1}{n})a}\), a skoro mamy we wszystkich przypadkach udowodnioną zbieżność, to granicę można policzyć tak: niech \(\displaystyle{ |a|>|b|}\), wówczas:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n}=\lim_{n\to } \frac{a-b(\frac{b}{a})^n}{1-(\frac{b}{a})^n}=\frac{a}{1}=a}\)