Matematyka.pl

Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{10}sin \alpha +cos \alpha}\) osiąga wartość maksymalną?

Musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha}\), żeby zarówno dla \(\displaystyle{ \sin}\) jak i \(\displaystyle{ \cos}\) było ono jak najkorzystniejsze, czyli ich suma jak największa, wtedy ułamek też będzie większy.

Na pewno będzie to I ćwiartka, gdzie obie funkcje przyjmują wartości dodatnie.

Wiedząc, że wartości \(\displaystyle{ \sin}\) w I ćwiartce zmieniają się w zakresie \(\displaystyle{ \langle 0; 1 \rangle}\), zaś \(\displaystyle{ \cos \langle 1; 0 \rangle}\) można wywnioskować, że najlepszy wynik osiągniemy gdy \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha}\), a jest tak dla \(\displaystyle{ \alpha = 45^{\circ}}\).

To tak na chłopski rozum, ładniej można udowodnić to rachunkiem różniczkowym:

\(\displaystyle{ f(x) = \sin \alpha + \cos \alpha}\)

Przyrównując pierwszą pochodną do 0, otrzymamy wartość maksymalną funkcji:

\(\displaystyle{ f'(x) = 0\\
(\sin \alpha + \cos \alpha)' = 0\\ \\

\cos \alpha - \sin \alpha = 0\\
\cos \alpha = \sin \alpha\\ \\

\cos ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha\\
\cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{2} }\\ \\

\arccos \sqrt{ \frac{1}{2} } = 45 ^{\circ}}\)

Wydaje mi się być dobrze rozwiązane.

Le_Quack pisze:...

a nie zjadłeś 1/10 przed sinusem?

niech:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}=\cos(\phi)}\)
\(\displaystyle{ 1=\sin(\phi)}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(\phi)}{\sin(\phi)}=10 \ \ \ \tg(\phi)=10}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\sin(\alpha)+cos(\alpha)=\cos(\phi)\sin(\alpha)+\sin(\phi)cos(\alpha)=\sin(\alpha+\phi)}\)
sinus daje maksymalną wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \alpha+\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi-\phi}\)
\(\displaystyle{ \alpha=arcctg(10)+2k\pi}\)

policzyć pochodną i przyrównać do 0 oczywiście łatwiej, ale czy ciekawiej?:D