Matematyka.pl

Będziemy korzystać przede wszystkim :

1) z tablic :




2) ze wzoru na transformatę pochodnej:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - s^{n - 2} f'(0^+)- ... - f^{(n - 1)}(0^+)}\)

3) z twierdzenia Borela:

Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f _{1} \right\}=F _{1}}\), \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f _{2} \right\}=F _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ F _{1}}\) i \(\displaystyle{ F _{1}}\) są zbieżne bezwzględnie dla \(\displaystyle{ s=s _{0}}\) , to

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{f_{1}*f_{2} \right\}(s _{0})=F _{1} (s _{0}) \cdot F _{2}(s _{0})}\)

gdzie \(\displaystyle{ f _{1}* f _{2}(t):= \int_{0}^{t}f _{1}(u) \cdot f _{2}(t-u)du}\)

Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y(t)= 2 \cdot t+ \int_{0}^{t}\sin(t-u)y(u)du}\)

Z warunkiem początkowym:

\(\displaystyle{ y(0 ^{+})=0}\)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając z twierdzenia Borela otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s ^{2} }+ \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s) \cdot \mathcal{L}\left\{ \sin(t) \right\}(s)}\)

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s ^{2} }+Y(s) \cdot \frac{1}{s ^{2}+1 }}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ Y(s)}\) :

\(\displaystyle{ Y(s)(1- \frac{1}{s ^{2} +1})= \frac{1}{s ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Y(s)( \frac{s ^{2} }{s ^{2} +1})= \frac{1}{s ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{s ^{2}+1 }{s ^{4} }= \frac{1}{s ^{2} }+ \frac{1}{s ^{4} }}\)

Znowu korzystając z tablic liczymy transformatę odwrotną tej funkcji otrzymując rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y(t)= t+ \frac{t ^{3} }{3!}}\)

\(\displaystyle{ y(t)= t+ \frac{t ^{3} }{6}}\)


Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y'(t)= 1}\)

(nie zadajemy warunku początkowego zatem rozwiązaniem będzie rodzina funkcji, a nie jedne konkretna)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając ze wzoru :

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)}\)

otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ s \cdot Y(s) - f(0^+)= \frac{1}{s}}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ Y(s)}\):

\(\displaystyle{ s \cdot Y(s) = \frac{1}{s}+ f(0^+)}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{1}{s ^{2} }+ \frac{1}{s} \cdot f(0^+)}\)

Liczymy tranformatę odwrotną:

\(\displaystyle{ y(t)=t+ f(0^+)}\)

czyli to samo co by nam wyszło gdybyśmy liczyli całkując obie strony.


Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y''(t)-3 \cdot y'(t)+2y=2}\)

Z warunkami początkowymi:

\(\displaystyle{ y(0 ^{+})=y'(0 ^{+})=0}\)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając ze wzorów :

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0^+) - f'(0^+)}\)

otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ s ^{2} \cdot Y(s) -3 \cdot s \cdot Y(s)+2 \cdot Y(s)= \frac{2}{s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) (s ^{2} -3s+2) = \frac{2}{s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{2}{(s ^{2} -3s+2)s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{2}{ (s-1)(s-2)s}}\)

Stosujemy rozkład na ułamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{2}{ (s-1)(s-2)s}= \frac{A}{ s}+ \frac{B}{ (s-1) }+ \frac{C}{ (s-2) }}\)

(stałe już każdy może obie wyliczyć)

I odwracamy transformatę:

\(\displaystyle{ y(t)=A+B \cdot e ^{t} + C \cdot e ^{2t}}\)


Skorzystaliśmy ze wzoru na przysunięcie transformaty:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)}\)

Uwaga!!!

Bardzo ważny wzór na odwracanie transformaty Laplace'a :

Jeżeli \(\displaystyle{ Y(s)}\)
ma bieguny w punktach \(\displaystyle{ s _{0}, s _{1},...,s _{n}}\), to:

\(\displaystyle{ \frac{f(t ^{+})+f(t ^{-} ) }{2} = \sum_{j=0}^{n} res _{s=s _{j} } (e ^{st} \cdot Y(s))}\)

\(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}(s)}\)

Zastosowanie ów wzoru przy okazji tematu o odwracaniu transformaty Laplace'a.

Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie
to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )