Matematyka.pl

Oblicz wartość
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}}\)

Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos{x} \cdot \cos{y}= \frac{\cos{(x-y)}+\cos{(x+y)}}{2}}\)

ares41, mógłbyś to jakoś rozpisać, bo mi nie wychodzi.

stosujesz wzor dla dwoch pierwszych cosinusów

\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c = (d+ e ) \cdot c= d \cdot c + \cdot e \cdot c= drugi \ raz \ wzor \ dla \ kazdego \ osobno}\)

gdzie literki oznaczaja kolejne cosinusy

sushi pisze:stosujesz wzor dla dwoch pierwszych cosinusów

\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c = (d+ e ) \cdot c= d \cdot c + \cdot e \cdot c= drugi \ raz \ wzor \ dla \ kazdego \ osobno}\)

gdzie literki oznaczaja kolejne cosinusy

o co tu chodzi?

sushi, do tego sam doszedłem.

Po rozpisaniu wychodzi:

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}=\frac{1}{4}\left(\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}+\cos\frac{8\pi}{13}+1\right)}\)

Co dalej?-- 15 lut 2011, o 13:05 --Ma ktoś jakiś pomysł?

Być może coś takiego się przyda:

Rozważmy tożsamości:

\(\displaystyle{ 2\cos\frac{k\pi}{13}\sin\frac{k\pi}{13}=\sin\frac{2k\pi}{13}}\)

dla \(\displaystyle{ k=1,2,4,8,3}\)

oraz tożsamość:

\(\displaystyle{ -2\cos\frac{6\pi}{13}\sin\frac{6\pi}{13}=\sin\frac{\pi}{13}}\).

Wszystkie są ze wzoru na sinus podwojonego kąta. Liczby \(\displaystyle{ 1,2,4,8,3,6}\) to kolejne potęgi \(\displaystyle{ 2}\) modulo \(\displaystyle{ 13}\), gdyby ktoś się zastanawiał, dlaczego właśnie te.

Wymnażając wszystkie sześć tożsamości stronami i skracając występujące po obu stronach sinusy otrzymujemy:

\(\displaystyle{ -2^{6}\prod_{k\in\{1,2,4,8,3,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=1}\),

czyli

\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,8,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=-\frac{1}{2^6}}\)

lub równoważnie:

\(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,2,3,4,5,6\}}\cos\frac{k\pi}{13}=\frac{1}{2^6}}\).

Nas interesuje liczba \(\displaystyle{ \prod_{k\in\{1,3,4\}}\cos\frac{k\pi}{13}}\).

To samo można szybciej otrzymać z tożsamości:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{n\pi}2}{2^{n-1}}}\).

Aktualizacja: Zgadując, że to ma coś wspólnego z \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) i oczywiście używając kalkulatora taki strzał:

\(\displaystyle{ \frac{229\sqrt{13}}{2000}}\)

co nie napawa optymizmem. To znaczy bez jakiegoś solidnie rozwiniętego aparatu takiej liczby się nie znajdzie.