Matematyka.pl

Wektory:
\(\displaystyle{ \vec{v _{1} } = (1, -1)\\
\vec{v _{2} } = (6, -1)}\)
są wektorami własnymi przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A: R^{2} \rightarrow R^{2}}\).
Wyznaczyć wartości własne odpowiadające tym wektorom, jeżeli \(\displaystyle{ A(1,1) = (-9,5)}\).

Proszę o wskazówki co po kolei robić, bo kompletnie nie mam pojęci jak to ugryźć.
Z góry dziękuję.

Wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\) są wektorami własnymi operatora \(\displaystyle{ A}\), zatem

\(\displaystyle{ Av_{1} = \lambda_{1} \cdot v_{1}}\)
\(\displaystyle{ Av_{2} = \lambda_{2} \cdot v_{2}}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ \lambda_{1}, \lambda_{2}}\).

\(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\), więc istnieją takie jedyne
\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ (1,1) = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2}}\).

Wówczas \(\displaystyle{ (-9,5) = A(1,1) = A(a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2}) = a_{1}Av_{1} + a_{2}Av_{2} = a_{1} \lambda_{1} v_{1} + a_{2} \lambda_{2} v_{2}}\).

Stąd można wyznaczyć wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}, \lambda_{2}}\).

Proszę sprawdzić, czy dobrze to zrobiłam.

\(\displaystyle{ (1,1) = a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}\\
(1,1) = ( a_{1} , -a_{1} ) + ( 6a_{2} , -a_{2} )\\
(1,1) = ( a_{1} + 6 a_{2} , -a_{1} -a_{2} )\\
\begin{cases} 1 = a_{1} + 6 a_{2} \\ 1 = -a_{1} -a_{2} \end{cases}\\
\begin{cases} a_{1} = -1 \frac{2}{5} \\ a_{2} = \frac{2}{5} \end{cases} \\
(-9,5) = a_{1} \lambda_{1} v_{1} + a_{2} \lambda_{2} v_{2}\\
\begin{cases} -9 = -1 \frac{2}{5} \lambda_{1} + 6 \frac{2}{5} \lambda_{2} \\ 5 = 1 \frac{2}{5} \lambda_{1} - \frac{2}{5} \lambda_{2} \end{cases} \\
\begin{cases} \lambda_{1} = 4 \frac{1}{7} \\ \lambda_{2} = -2 \end{cases}}\)

proszę o konsultację. z góry dzięki.

Tak, ale bezpieczniej napisać skąd się bierze

\(\displaystyle{ (-9,5) = a_{1} \lambda_{1} v_{1} + a_{2} \lambda_{2} v_{2}}\).

Że wynika to z liniowości operatora \(\displaystyle{ A}\) i z tego, że \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\) są wektorami własnymi \(\displaystyle{ A}\) z wartościami własnymi \(\displaystyle{ \lambda_{1}, \lambda_{2}}\).