Matematyka.pl

Zbadać przebieg zmiennosci fukncji i narysowac wykres.
\(\displaystyle{ \frac{x(x+3)}{x-2}}\)


Mam problem z tym zadaniem. na etapie okresleniu gdzie pochodna i funkcja jest rosnaca a kiedy malejaca.

Jaką masz pochodną ?

No i dziedzinę ?

Pokaż jak wyznaczyłeś pierwszą i drugą pochodną.

pierwsza pochodna. drugiej nie liczylem

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}-4x-6 }{(x-2) ^{2} }}\)

Ok.
Funkcja rośnie gdy pochodna jest dodatnia; maleje gdy ...

to wiem..tylko nie umiem tego wyliczyc, wywnioskowac..

Rozwiązujesz (i pokazujesz co dostaniesz) :
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}-4x-6 }{(x-2) ^{2} }>0}\) (i dla otrzymanych x -sów funkcja rośnie)

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}-4x-6 }{(x-2) ^{2} }>0}\)

wskazówka do powyższej nierówności:
\(\displaystyle{ \forall{x \in \mathbb{R}} \quad (x-2)^2 \ge 0}\)

//EDIT: już prawdziwe

chris_ pisze:
wskazówka do powyższej nierówności:
\(\displaystyle{ \forall{x \in \mathbb{R}} \quad (x-2)^2>0}\)

Prawie prawdziwe.

wyszlo mi \(\displaystyle{ (x-(2- \sqrt{10})(x-(2+ \sqrt{10})> 0}\) gdy \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,2- \sqrt10) \cup (2+ \sqrt{10}, \infty )}\)

No i prawidłowo. Mamy monotoniczność funkcji. Teraz ekstrem szukasz patrząc gdzie pochodna zmienia znak i z jakiego na jaki. Jak z - na + to mamy minimum, jak z + na - mamy maksimum.

Wypukłość badasz podobnie jak monotoniczność, tylko, że musisz wyznaczyć jak zachowuje się znak drugiej pochodnej.

\(\displaystyle{ f''(x)<0}\) - funkcja wklęsła
\(\displaystyle{ f''(x)>0}\) - funkcja wypukła
\(\displaystyle{ f''(x)=0}\) - potencjalny punkt przegięcia