Geometria analityczna w 3D - odległości

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Geometria analityczna w 3D - odległości

Post autor: Crizz » 9 lut 2011, o 18:58

Geometria analityczna w 3D - odległości
Postanowiłem założyć ten temat ze względu na mnogość zadań pojawiających się w dziale Geometria analityczna, dotyczących problemów liczenia odległości między punktami, prostymi i płaszczyznami. Zamiast szukania skomplikowanych sposobów rozwiązania, często w takich zadaniach wystarczy skorzystać z gotowego wzoru po dokonaniu kilku prostych obliczeń lub przekształceń. W rozwiązaniach zadań będą wykorzystane następujące dwa wzory:
Odległość punktu \(P(x_0,y_0,z_0)\) od płaszczyzny \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) dana jest wzorem \(d(\pi,P)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
Ukryta treść:    
Z powyższego wzoru wynika natychmiast inny przydatny wzór:
Odległość płaszczyzn równoległych \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) i \(\pi^\prime:Ax+By+Cz+D^\prime=0\) dana jest wzorem \(d(\pi,\pi^\prime)=\frac{|D-D^\prime|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
Odległość punktu \(P\) od prostej \(l\) równoległej do \(\vec{u}\), przechodzącej przez \(P_0\), wynosi \(d(l,P)=\frac{|\vec{PP_0} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\).
Ukryta treść:    
[size=130]Zadanie I
Znaleźć odległość punktu \(A(1,2,1)\) od płaszczyzny \(\pi:2x+y+2z+1=0\). Rozwiązanie: Korzystając, ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny, obliczamy szukaną odległość: \(d(\pi,A)=\frac{|2 \cdot 1+2+2 \cdot 1+1|}{\sqrt{2^{2}+1+2^2}}=\frac{7}{3}\)
\(\hline\)
[size=130]Zadanie II
Znaleźć odległość płaszczyzn \(\pi:5x-3y+7z=0\) i \(\rho:-10x+6y-14z+2=0\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektory normalne podanych płaszczyzn: \(\vec{u_\pi}=[5,-3,7]\) \(\vec{u_\rho}=[-10,6,-14]\) Ponieważ \(\frac{5}{-10}=\frac{-3}{6}=\frac{7}{-14}=-\frac{1}{2}\), to wspomniane wektory są równoległe, co oznacza, że płaszczyzny są również równoległe. Mnożymy zatem równanie drugiej płaszczyzny przez \(-\frac{1}{2}\) i otrzymujemy: \(\rho:5x-3y+7z-1=0\) Następnie korzystamy ze wzoru na odległośc dwóch płaszczyzn równoległych: \(d(\pi,\rho)=\frac{|0+1|}{\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+7^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{83}}=\frac{\sqrt{83}}{83}\).
\(\hline\)
[size=130]Zadanie III
Znaleźć odległość płaszczyzn \(\pi:2x-z=0\) i \(\rho:3x+y=0\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektory normalne podanych płaszczyzn: \(\vec{u_\pi}=[2,0,-1]\) \(\vec{u_\rho}=[3,1,0]\) Ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista \(t\), że \(\vec{u_\pi}=t\vec{u_\rho}\), to wektory normalne do podanych płaszczyzn nie są równoległe, co oznacza, że podane płaszczyzny przecinają się. Ich odległość wynosi zatem \(d(\pi,\rho)=0\).
\(\hline\)
[size=130]Zadanie IV
Obliczyć odległość punktu \(P(1,2,1)\) od prostej \(l:x-1=y=\frac{z+1}{2}\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektor kierunkowy \(\vec{u}\) prostej \(l\): \(\vec{u}=[1,1,2]\), oraz znajdujemy współrzędne dowolnego punktu tej prostej, np. \(P_0(1,0,-1)\). Następnie wyznaczamy wektor \(\vec{PP_0}\): \(\vec{PP_0}=[1-1,0-2,-1-1]=[0,-2,-2]\) Na koniec korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: \(d(l,P)=\frac{|[0,-2,-2] \times [1,1,2]|}{\sqrt{1+1+2^2}}=\frac{|[-2,-2,2]|}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\)
\(\hline\)
[size=130]Zadanie V
Obliczyć odległość prostych \(k:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{5}\) i \(l: \begin{cases} x=4t \\ y=6t+2 \\ z=10t \end{cases}\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych: \(\vec{u_k}=[2,3,5]\) \(\vec{u_l}=[4,6,10]\) Ponieważ \(\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=2\), to wektory kierunkowe są równoległe, co oznacza, że również podane proste są równoległe. Wystarczy zatem wziąć jeden punkt prostej \(l\) i obliczyć jego odległość od prostej k. Jednym z punktów prostej l jest \(P=(0,2,0)\), a jednym z punktów prostej k jest \(P_0=(0,1,-2)\), zatem: \(\vec{PP_0}=[0-0,1-2,-2-0]=[0,-1,-2]\) \(d(k,l)=\frac{|[0,-1,-2]\times [2,3,5]|}{|2^2+3^2+5^2|}=\frac{|[1,-4,2]|}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{798}}{38}\)
\(\hline\)
[size=130]Zadanie VI
Obliczyć odległość prostych \(k:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{5}\) i \(l:x-1=\frac{y-4}{2}=\frac{z-7}{3}\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych: \(\vec{u_k}=[2,3,5]\) \(\vec{u_l}=[1,2,3]\) Powyższe wektory nie są równoległe, co oznacza, że proste się przecinają lub są zwichrowane. Sprawdzamy zatem, czy proste leżą w jednej płaszczyźnie. Jeden ze sposobów: Odczytujemy dowolne punkty \(P_1,P_2\) należące odpowiednio do prostych \(k,l\): \(P_1=(-1,1,2)\\ P_2=(1,4,7)\) Budujemy macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \(\vec{P_1P_2}=[1+1,4-1,7-2]=[2,3,5]\), a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczamy jej wyznacznik: \(\left|\begin{matrix} 2&3&5 \\ 2&3&5 \\ 1&2&3 \end{matrix}\right|=0\) Wyznacznik macierzy wynosi \(0\), co oznacza, że proste leżą w jednej płaszczyźnie; skoro nie są równoległe, to muszą się przecinać. Ich odległość wynosi zatem \(d(k,l)=0\).
\(\hline\)
[size=130]Zadanie VII
Obliczyć odległość prostych \(k:\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{2}\) i \(l:x-5=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}\). Rozwiązanie: Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych: \(\vec{u_k}=[3,2,2]\) \(\vec{u_l}=[1,2,2]\) Powyższe wektory nie są równoległe, co oznacza, że proste się przecinają lub są zwichrowane. Sprawdzamy zatem, czy proste leżą w jednej płaszczyźnie. Odczytujemy dowolne punkty \(P_1,P_2\) należące odpowiednio do prostych \(k,l\): \(P_1=(-1,-2,0)\\ P_2=(5,2,2)\) Budujemy macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \(\vec{P_1P_2}=[5+1,2+2,2-0]=[6,4,2]\), a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczamy jej wyznacznik: \(\left|\begin{matrix} 3&2&2 \\ 1&2&2 \\ 6&4&2 \end{matrix}\right|=-8 \neq 0\) Wyznacznik macierzy jest różny od zera, co oznacza, że proste są zwichrowane. Znajdźmy zatem płaszczyznę równoległą do obu tych prostych i zawierającą prostą \(l\). Jej wektor normalny możemy obliczyć jako \(\vec{N}=\vec{u_k} \times \vec{u_l}=[0,-4,4]\). Dla uproszczenia, możemy użyć równoległego do niego wektora \(\vec{N^\prime}=[0,-1,1]\). Do szukanej płaszczyzny należy \(P_2\), w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako: \(0(x-5)-(y-2)+(z-2)=0\\ -y+z=0\) Znajdujemy szukaną odległość między prostymi jako odległość dowolnego z punktów prostej \(k\) (np. \(P_1\)) od wyznaczonej płaszczyzny: \(d(k,l)=\frac{|2+0|}{\sqrt{(-1)^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\hline\)
[size=130]Zadanie VIII
Obliczyć odległość prostej \(k:\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{2}\) od płaszczyzny \(\pi:x+2y+z-4=0\). Rozwiązanie: Równanie podanej prostej przekształcamy na postać parametryczną: \(\begin{cases} x=3t-1 \\ y=2t-2 \\z=2t \end{cases}\) Badamy wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. W tym celu wstawiamy przepisy na \(x,y,z\) do równania płaszczyzny i badamy ilość rozwiązań otrzymanego równania. \((3t-1)+2(2t-2)+2t-4=0\\ 9t=9\\ t=1\) Równanie posiada jedno rozwiązanie, co oznacza, że prosta przebija płaszczyznę. Szukana odległość wynosi zatem \(d(l,\pi)=0\).
\(\hline\)
[size=130]Zadanie IX
Obliczyć odległość prostej \(k:\frac{x}{3}=y-2=\frac{z}{3}\) od płaszczyzny \(\pi:3x+3y-4z=0\). Rozwiązanie: Równanie podanej prostej przekształcamy na postać parametryczną: \(\begin{cases} x=3t \\ y=t+2 \\z=3t \end{cases}\) Badamy wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. W tym celu wstawiamy przepisy na \(x,y,z\) do równania płaszczyzny i badamy ilość rozwiązań otrzymanego równania. \(3\cdot 3t+3(t+2)-4 \cdot 3t=0\\ 6=0\) Otrzymana sprzeczność oznacza, że równanie nie ma rozwiązań, zatem prosta i płaszczyzna są równoległe. Ich odległość można wyznaczyć jako odległość dowolnego punktu \(l\) od prostej \(\pi\), np. punktu \(P(0,2,0)\): \(d(l,\pi)=\frac{|6|}{3^2+1+3^2}=\frac{6}{\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{19}}{19}\).
\(\hline\)
Wszelkie uwagi dotyczące tego tematu proszę pisać na PW.

Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork

Geometria analityczna w 3D - odległości

Post autor: Kanodelo » 25 paź 2012, o 23:39

Inny sposób rozwiązania zadania II
Wybieramy dowolny punkt leżący na pierwszej płaszczyźnie i liczymy jego odległość od drugiej płaszczyzny
na płaszczyźnie \(\pi:5x-3y+7z=0\) leży punkt np \(P'=(-2,-1,1)\)
ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny wychodzi:
\(d= \frac{-10 \cdot (-2)+6 \cdot (-1)-14 \cdot 1+2}{\sqrt{10^2+6^2+14^2}}=\frac{2}{\sqrt{332}}=\frac{1}{\sqrt{83}}\)



Inny sposób rozwiązania zadanie IV
trzeba poprowadzić płaszczyzne prostopadłą do prostej przechodzącą przez punkt P, następnie wyznaczyć punkt P' przecięcia prostej i płaszczyzny, a na koniec obliczyć długość odcinka \(PP'\) ze wzoru

- wektor normalny płaszyzny jest taki sam, jak wektor kierunowy prostej, czyli \((1,1,2)\), płaszczyzna ma równanie \(x+y+2z+d=0\)
- wiemy,że przechodzi przez punkt \(P=(1,2,1)\) i wstawiając ten punkt do równania wyznaczymy brakujacy współczynnik \(d\):
\(1+2+2+d=0 \\ d=-5\)
- płaszczyzna ma równanie \(x+y+2z-5=0\), żeby znaleść jej punkt przecięcia z prostą, wstawiamy współrzędne z równania prostej do równania płaszczyzny
\(l:x-1=y= \frac{z+1}{2} \\ l: \begin{cases} x=y+1 \\ y=y \\ z=2y-1 \end{cases} \\ (y+1)+y+2(2y-1)-5=0 \\ y=1 \\ P'=(2,1,1)\)
- szukamy długość odcinka \(PP'\)
\(d= \sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{2}\)

ODPOWIEDZ