Matematyka.pl

Mam do obliczenia wyznacznik układu metodą eliminacji. Wyjaśnić, czy układ jest oznaczony?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y-4z=-3\\2x+y-3z=4\\x-y-3z=-1 \end{array}}\).

Tok obliczeń:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&-4&-3\\2&1&-3&4\\1&-1&-3&-1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \stackrel{W_{2}^{`}=W_{1}\cdot(-2)+W_{2} }{=}, \stackrel{W_{3}^{`}=W_{3}-W_{1}}{=}}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&-4&-3\\0&5&5&10\\0&1&3&-2\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \stackrel{W_{3}^{`}=W_{2}\cdot(- \frac{1}{5} )+W_{3} }{=}}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&-4&-3\\0&5&5&10\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)

5y+5z=10
Coś dalej powinno być liczone?

Odpowiedź na pytanie, czy układ jest oznaczony, jest troszkę kłopotliwa, jak dla mnie, ponieważ wg mnie jest to układ, który ma nieskończenie wile rozwiązań. Zatem jest to układ nie oznaczony?

Dobrze zinterpretowałem? Proszę również o sprawdzenie moich obliczeń.

Układ nieoznaczony. Wyraź x i z jako funkcje y. Napisz, że trójki liczb x= f(y), y, z= g(y) dla dowolnego y spełniają ten układ.

kropka+ pisze:Wyraź x i z jako funkcje y.

o to chodzi?
\(\displaystyle{ 5y+5z=10}\)
\(\displaystyle{ 5y=10-5z /:5}\)
\(\displaystyle{ y=2-z}\)

kropka+ pisze:Napisz, że trójki liczb x= f(y), y, z= g(y) dla dowolnego y spełniają ten układ.

nie wiem co chodzi

Czyli
\(\displaystyle{ z=2-y}\)
Teraz z pierwszego równania wyznacz x zależne od y (jako z podstaw to co wyżej).

kropka+ pisze:Czyli
\(\displaystyle{ z=2-y}\)
Teraz z pierwszego równania wyznacz x zależne od y (jako z podstaw to co wyżej).

No to mam tak:
\(\displaystyle{ x-2y-4z=-3}\)
\(\displaystyle{ x-2y-4(2-y)=-3}\)
\(\displaystyle{ x-2y-8+4y=-3}\)
\(\displaystyle{ x+2y-8=-3}\)
\(\displaystyle{ x=-3+8-2y}\)
\(\displaystyle{ x=5-2y}\)
co teraz powinienem zrobić?

Ukłąd jest nieoznaczony, spełniają go wszystkie trójki liczb postaci:

\(\displaystyle{ x= 5- 2y, \ y, \ z= 2- y \ gdzie \ y \in R}\)

kropka+ pisze:Ukłąd jest nieoznaczony, spełniają go wszystkie trójki liczb postaci:

\(\displaystyle{ x= 5- 2y, \ y, \ z= 2- y \ gdzie \ y \in R}\)

a ten y (co jest sama) to skąd on jest? i dlaczego nie ma przy niej żadnego równania?

Na tym polega nieoznaczoność układu. Cokolwiek podstawisz pod y to te liczby będą rozwiązaniem. Tych rozwiązań jest nieskończenie wiele np: (5, 0, 2), (3, 1, 1), itd. Każda liczba rzeczywista y wyznacza kolejne rozwiązanie. Na tym koniec.

tzn, że jakbym miał do rozwiązania inne równanie, które też byłoby nieoznaczone to \(\displaystyle{ y}\) będzie bez równania, a \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) z równaniami?

Możesz zapisać z bez równania a x i y jako równania z. W naszym przykładzie rozwiązanie można zapisać tak:
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z)= (1+ 2z, 2-z, z): z \in R\right\}}\)

Dziękuję bardzo za pomoc w pełnym rozwiązaniu mego zadania

edit: w drugiej klamrze w trzecim wierszu źle przepisałem liczby: powinny być one następujące: 0, 1, 1 i 2