Strona 1 z 1
Trudny dowodzik z pierwiastkami
: 12 gru 2006, o 17:15
autor: michal1989as
Oblicz \(\displaystyle{ T^{2}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ T=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}\)
Proszę o rozwiązanie powyższego zadania wraz z wytłumaczeniem. Z góry dziękuje i pozdrawiam.
Trudny dowodzik z pierwiastkami
: 12 gru 2006, o 17:37
autor: max
Nie ten dział, nie ten temat, używaj
LaTeX-a...
Zauważ, że
\(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}\)
Podstawiając:
\(\displaystyle{ t = 2 + \sqrt{3}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ T = \frac{t}{\sqrt{2} + t} + \frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{2} - \frac{1}{t}} = \frac{t(\sqrt{2} - \frac{1}{t}) + \frac{1}{t}(\sqrt{2} + t)}{(\sqrt{2} + t)(\sqrt{2} - \frac{1}{t})} = \frac{\sqrt{2}(t + \frac{1}{t})}{1 + \sqrt{2}(t - \frac{1}{t})}}\).
Wstawiamy
\(\displaystyle{ 2 + \sqrt{3} = t}\)
\(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{t}}\)
otrzymując:
\(\displaystyle{ T = \frac{4\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ T^{2} = \frac{32}{25 + 4\sqrt{6}}}\)