Matematyka.pl

Zbadaj ciągłość funkcji:

\(\displaystyle{ f: R \ni x \rightarrow
\begin{cases} x^2+ \beta x + 1 \hbox{ dla } x \le 0\\\beta e^x \hbox{ dla } x>0\end{cases} \in R}\)

W przedziale [-1,1] w zależności od parametru \(\displaystyle{ \beta \in R}\)

Nie wiem za bardzo o co chodzi w zadaniu. Patrzyłem w Gewercie i Skoczylasie, oraz w Krysickim, ale wszędzie tam jest tylko "dobierz parametr, aby funkcja była ciągła" - z tym nie mam problemu.

Prosiłbym o wskazówki

No to dobierz aby była, dla pozostałych nie będzie.

Czyli mam rozumieć, że "zbadaj ciągłość" to to samo co "dobierz parametr", w tych typach zadań?

Odpowiedź w tym zadaniu to po prostu "Funkcja jest ciągła dla parametru \(\displaystyle{ \beta = 1}\) ? Po co więc w treści zadania ten przedział?

Dziedzina funkcji jest istotna.
Istotnym argumentem (co do ciągłości lub nie) jest tutaj x = 0 i dlatego dali przedział zawierający tego x-sa.

Pozwólcie, że się podepnę -> mianowicie jak dobrać taki parametr? Zawsze byłem kiepski w parametrach i bardzo rzadko udało mi się trafiać w odpowiednie.

Tutaj
\(\displaystyle{ f(0)= \lim_{ x\to 0^+} f(x)}\)

Mamy tutaj stwierdzić ciągłość na przedziale i dla parametru \(\displaystyle{ \beta =1}\) funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ 0}\)bo:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 ^{-} }f =\lim_{x \to0 ^{+} }f=1}\)

Ale nam chodzi o ciągłość na przedziale wiec nasuwa mi się skorzystanie z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich. Wiec zgodnie z myślą tego twierdzenia \(\displaystyle{ f _{-1} <f _{1}}\) wtedy jest ciągła na przedziale. A tutaj wychodzi że \(\displaystyle{ f _{(-1)} <f _{(1)}=1\ dla\ \beta=1}\). I jest nie wiadomo co. Czy dobrze to rozumiem, że trzeba korzystać z tego twierdzenia?

Czy może jeśli jest ciągła dla \(\displaystyle{ x=0\ przy\ \beta=1}\) to jest ciągła w całym przedziale?

Jedynym miejscem gdzie mógł wystąpić brak ciagłości jest to dla x = 0.

Dobra, ale przedział jest po coś podany. Nie jest to jakiś haczyk?

Bo wiadomo wielomiany czy też \(\displaystyle{ e^{x}}\) jest ciągła. Jak to uzasadnić przy rozwiązywaniu zadania przy odpowiedzi że jest ciągła na całym tym przedziale

Przedział jest w zasadzie dla zmyłki - funkcje elementarne (tu kwadratowa, wykładnicza) są ciągłe.