Matematyka.pl

Jak obliczyć granicę ciągu, który jest przedstawiony w postaci rekurencyjnej? Wiem, że trzeba sprawdić czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony a następnie obliczyć granicę, tylko nie wiem, jak to zrobić ??:. Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć np na takim ciągu:

\(\displaystyle{ a_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+6}}\)

wskazówka: wypisać kilka pierwszych wyrazów ciągu.

Ciąg można przedstawić jako:

\(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt{6} \\
a_{n+1} = \sqrt{6+a_{n}} \\}\)

zauważmy ponadto, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a_{n} q 0}\)

dalej już stosunkowo łatwo , mianowicie:

jeżeli ciąg ten ma granicę to zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} a_{n} = \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} = g \\}\)
stąd:

\(\displaystyle{ g = \sqrt{6+g}\\
g^{2} = 6+g\\
g^{2} - g -6 = 0\\

g =-2 lub g = \frac{1+5}{2}}\)
a stąd \(\displaystyle{ g = g = 3}\) (bo przecież \(\displaystyle{ a_{n} q 0}\))




indukcyjnie pokażemy, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 3}\)

\(\displaystyle{ I. \\
a_{0} q 3 ok\\
\\
II.\\
a_{n} q 3 /+6\\
a_{n} + 6 q 9 / \sqrt{()}\\
\sqrt{a_{n} + 6} q 3 (ok)\\}\)

pokazaliśmy że ciąg jest ograniczony z góry i z dołu.
Teraz wystarczy pokazać, że ciąg jest monotniczny (a dokładniej - rosnący) i otrzymamy \(\displaystyle{ \lim a_{n} = 3}\) co jest dobrym ćwiczeniem do ciągów rekurencyjnych. Jeżeli będziesz miał z tym kłopoty to mogę wieczorem dopisać.

pozdrawiam

Wielkie dzięki, jak narazie wszystko jest dla mnie jasne. Jakbyś miał czas, to napisz mi jeszcze jak pokazać, że jest monotoniczny. To że jest rosnący, to każdy widzi, tylko nie wiem jak to udowodnić.

wskazówka (ogólna, do ciągów rekurencyjnych): należy przekształcać "od końca". Tzn, poprzez niesprzeczne przekształcenia wyprowadzić z pożądanej nierówności/równości wzory na wyrazy naszego ciągu.

Tak właśnie zrobimy udowadniając monotoniczność tego ciągu (można inaczej, ale daje to dobry pogląd na problem):

\(\displaystyle{ a_{n} < 3 \\
a_{n} - 3 < 0 / (\text{przemnóżmy obie strony przez }(2+a_{n})\text{ - można, bo jest to liczba dodatnia}) \\
(a_{n}-3)(a_{n}+2) < 0 \\
{a_{n}}^{2} - a_{n} - 6 < 0 \\
{a_{n}}^{2} < a_{n} + 6 \\
a_{n} < \sqrt{a_{n} + 6}}\)

ćwiczenie: prześledzić przekształcenia "od końca" (właśnie w ten sposób powinno się to pokazywać. Na końcu wystarczy odtworzyć przekształcenia w odwrotnej kolejności, co zostało przedstawione powyżej. Korzystaliśmy oczywiście z tego, iż ciąg jest ograniczony przez 0 i 3, co dowodziliśmy wcześniej)

pozdrawiam

Dzięki za wytłumaczenie.
Pozdrawiam.

To jest złe rozwiązanie, bo równie dobrze 810935804275205 jest ograniczeniem górnym, a to nie jest granica. Trzeba pokazać, że jest to ciąg monotoniczny i że 3 jest KRESEM górnym. Fakt, że jest ograniczony mówi nam tylko o tym, że jest zbieżny (każdy monotoniczny i ograniczony jest).

Dobrze, że po \(\displaystyle{ 6}\) latach dałeś znać.

Na początku jest pokazane, że jeżeli granica istnieje, to jest równa albo \(\displaystyle{ -2}\) albo \(\displaystyle{ 3}\).

To może ja odkopie znowu po 6 latach xD
Może ktoś pokazać jak udowodnić tę monotoniczność?
Tzn. tutaj założyliśmy, ze kres górny wynosi 3, a czy istnieje sposób bez tego?

Mam ciekawy przykład

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sin (a_{n})}\)

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)

Rozwiązałem go przez twierdzenie o 3 funkcjach, ale chciałbym w taki jednolity zgrabny sposób jak panowie wyżej

Granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\)

Bo \(\displaystyle{ g=\sin (g)}\)

\(\displaystyle{ f(x)=x-\sin (x)}\)

\(\displaystyle{ x-\sin x \ge x-1}\)
oraz
\(\displaystyle{ x-\sin x \le x+1}\)

Jedno miejsce zerowe, widać, że \(\displaystyle{ x=0}\)

Ale i tak zrobiłem to nielegalnie bo nie udowodniłem monotniczności

Szczerze mówiąc, nie bardzo widzę, co mają uzasadniać te Twoje szacowania. Ja bym postąpił tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sin (a_{n})}\)

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
Zacznijmy od monotoniczności ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) określonego jak wyżej.
Skorzystamy z nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x}\), prawdziwej dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) dodatniego (wynika ona natychmiast z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, natomiast istnieje też ładniejszy dowód, patrz ) i z prostej indukcji zupełnej. Natomiast nierówność \(\displaystyle{ \sin x<x}\) w dodatnich można przepisać w postaci \(\displaystyle{ -x<-\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), czyli z nieparzystości sinusa innymi słowy \(\displaystyle{ -x<\sin(-x)}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) (*). Zatem równość \(\displaystyle{ \sin x=x}\) może zachodzić (i istotnie zachodzi) tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\)(&).Zauważmy jeszcze, co oczywiste, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\) jest \(\displaystyle{ \sin x>0}\).
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Oczywiście \(\displaystyle{ a_1=1>0}\), więc ze wspomnianej nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x}\) mamy \(\displaystyle{ \sin (a_1)<a_1=1}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla wszystkich \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) nieprzekraczających pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) mamy \(\displaystyle{ a_{k+1}=\sin(a_k)<a_k}\). Stąd musi być w szczególności \(\displaystyle{ a_n>0}\) – patrz (*). Nadto z przechodniości nierówności mamy \(\displaystyle{ a_n<a_1=1}\), czyli w szczególności \(\displaystyle{ a_n \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), więc
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sin(a_n)>0}\) i także \(\displaystyle{ a_{n+1}\in (0,1)\subset \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ a_{n+2}=\sin(a_{n+1})<a_{n+1}}\) z nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x}\) w dodatnich. Ponadto także \(\displaystyle{ a_{n+2
}>0.}\)


Ograniczoność ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) wynika zaś natychmiast z powyższych rachunków, gdyż w szczególności wykazaliśmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest \(\displaystyle{ 1\ge a_n>0}\).
Zatem na mocy twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznym wykazaliśmy, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma granicę właściwą, nazwijmy ją \(\displaystyle{ g}\).
Dalej tak jak Ty – przechodząc do granicy w zależności rekurencyjnej \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sin(a_n)}\) (korzystamy z tego, że sinus jest funkcją ciągłą) dostajemy \(\displaystyle{ g=\sin(g)}\), czyli z (&) \(\displaystyle{ g=0}\).