Matematyka.pl

i jaki tu wyjdzie lim??

\(\displaystyle{ -2}\)

Przydatne (do problemów innego typu) .

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}=[ \infty \cdot 0]=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ x\to \infty } \frac{\ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{[H]}{=}\lim_{ x\to \infty } \frac{-2x^2}{x^2-1}=-2}\)

İntegral pisze:Należy teraz skorzystać z twierdzenia de l'Hospitala.

Niekoniecznie.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}=\lim_{x\to\infty}\ln\left[\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{\frac{x+1}{-2}}\right]^{\frac{-2x}{x+1}}}\)

a ostateczny wynik??

İntegral pisze:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1}>0 \quad \Leftrightarrow \quad x \in (-1;1)}\)

Eee tam...

rolas18 pisze:a ostateczny wynik??

Cztery posty wyżej.

Nie mogę się powstrzymać, żeby nie odkopać. Wiele takich rzeczy można zupełnie prosto zrobić twierdzeniem Lagrange'a

\(\displaystyle{ x\ln\frac{x-1}{x+1}=x\left(\ln(x-1)-\ln(x+1)\right)=-2x\cdot\frac{1}{\xi}}\)
gdzie `x-1<\xi<x+1`.
Stąd
\(\displaystyle{ -2 \leftarrow \frac{-2x}{x-1}<x\ln\frac{x-1}{x+1}<\frac{-2x}{x+1} \rightarrow -2}\)