Wartosc parametru k

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 18:54

Dla jakich rzeczywistych wartosci parametru k funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^{3} +2k x^{2} +3kx-4}\) jest malejaca w zbiorze liczb rzeczywistych. pomozcie nie wiem jak mam potegi zrobic w w pierwszym jest do 3 a w drugim do 2 potegi

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 lut 2011, o 19:08

Dla żadnej wartości parametru funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie maleje w całym zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). (Dla dostatecznie dużych argumentów przyjmuje wartości dodatnie, a dla dostatecznie małych wartości ujemne). Sensowniej byłoby zapytać, kiedy rośnie ona w całym zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 lut 2011, o 19:11

Pochodne były?

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 19:11

sorry mialo byc rosnaca ale prosilbym o caly tok rozwiazania
tak pochodne mialem

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 lut 2011, o 19:16

\(\displaystyle{ y'= 3x^2 + 4kx + 3k}\)

Rosnąca jak \(\displaystyle{ 3x^2 + 4kx + 3k>0}\)
tzn parabola musi leżeć nad osią OX
\(\displaystyle{ \Delta<0}\)

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 lut 2011, o 19:19

na to, by funkcja była rosnąca w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) potrzeba i wystarcza, by pochodna przyjmowała tylko wartości nieujemne. A pochodna jest funkcją kwadratową.

nmn, pochodna nie musi być dodatnia; wystarczy, że będzie nieujemna (i tak nie będzie zmieniać znaku).

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 19:20

a gdzie jest to do 4 i -4 prosilbym o wytlumaczenie krok po kroku jak to robic

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 lut 2011, o 19:26

sebareal pisze:a gdzie jest to do 4 i -4 prosilbym o wytlumaczenie krok po kroku jak to robic

Nie bardzo rozumiem o co pytasz.

lukasz1804 pisze: nmn, pochodna nie musi być dodatnia; wystarczy, że będzie nieujemna (i tak nie będzie zmieniać znaku).

No cóż ja mam inną definicję:
Jest rosnąca jak \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 19:29

moglby mi ktos powiedziec co zrobic zebyf(x)x^3 +2kx^2 +3kx -4 zrobilo sie y'=3x^2+4kx+3k
albo jakis inny sposob latwiejszy no jeszcze raz prosze caly tok rozwiazan

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 lut 2011, o 19:31

Policzyłam pochodną. Przecież pisałeś, że to miałeś.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 lut 2011, o 19:33

nmn, dokładne twierdzenie orzeka tak:
Funkcja różniczkowalna jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna przyjmuje wartości nieujemne, przy czym zbiór miejsc zerowych pochodnej jest co najwyżej przeliczalny.

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 19:38

no ze bralem ale nie wiem jak sie pochodne liczy

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 lut 2011, o 19:40

Ja znam takie twierdzenia:
Jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ x \in (a,b)}\) \(\displaystyle{ f'(x)>0}\), to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\)-- dzisiaj, o 19:43 --\(\displaystyle{ f'(x)= ( x^{3} +2k x^{2} +3kx-4)'=(x^3)'+(2k x^{2})' +(3kx)'-4'=3x^2 + 4kx + 3k}\)

\(\displaystyle{ 3x^2 + 4kx + 3k>0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=(4k)^2-4 \cdot 3 \cdot 3k=16k^2 + 36k}\)

\(\displaystyle{ \Delta<0}\)

\(\displaystyle{ 16k^2 - 36k<0}\)
\(\displaystyle{ 4k(4k - 9)<0}\)

\(\displaystyle{ k \in ( 0;\frac{9}{4})}\)

sebareal · Post autor: **sebareal** » 3 lut 2011, o 19:52

i to jest wszystko tak?? mogla bys mi podac nr gg bo mam jeszcze jedno zadanko z ekstremum oczywiscie jak dasz rade rozwiazac to bym bardzo prosil

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 lut 2011, o 19:56

nmn pisze:(...)\(\displaystyle{ k \in ( 0;\frac{9}{4})}\)

Zobaczmy dla \(\displaystyle{ k=0}\): funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3-4}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Podobnie jest dla \(\displaystyle{ k=\frac{9}{4}}\) (można sprawdzić).