Wyznaczanie prostej w przestrzeni

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
Blaine091
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 paź 2018, o 17:46
Płeć: Mężczyzna

Re: Wyznaczanie prostej w przestrzeni

Post autor: Blaine091 » 6 paź 2018, o 18:01

Zrobiłem dla przykładu Oli i działa.
Narysowana linia w programie „Freemat" tutaj https://i.imgur.com/oE1AqI9.png
Widzę poprawną linie w przestrzeni o punktach końcowych A=[2;-1;3]; B=[1;2;-1];

[quote="oll93"]2x - y + 3z + 1 = 0
x + 2y - z + 4 = 0

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?[/quote]

Mamy:
\(\displaystyle{ A=\begin{cases} 2\\-1\\3 \end{cases}}\), \(\displaystyle{ B=\begin{cases} 1\\2\\-1 \end{cases}}\)

Współrzędne naszej linii:

\(\displaystyle{ l=\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},0 \le t \le 1}\)

\(\displaystyle{ AB=\begin{cases} ABx\\ABy\\ABz \end{cases}}\)

Musimy dobrać takie: \(\displaystyle{ [ABx,ABy,ABz]}\)

aby \(\displaystyle{ A=\begin{cases} 2\\-1\\3 \end{cases}}\) dawało nam \(\displaystyle{ B=\begin{cases} 1\\2\\-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l=\begin{cases}x=2-1t \\ y=-1+3t,0 \le t \le 1 \\ z=3-4t\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=2-1*t}\) \(\displaystyle{ Dla}\) \(\displaystyle{ t=0}\) \(\displaystyle{ 2-1*0=2-0=2}\) \(\displaystyle{ Dla}\)
\(\displaystyle{ t=1}\) \(\displaystyle{ 2-1*1=2-1=1}\)

\(\displaystyle{ y=-1+3*t}\) \(\displaystyle{ Dla}\) \(\displaystyle{ t=0}\) \(\displaystyle{ -1+3*0=-1+0=-1}\) \(\displaystyle{ Dla}\)
\(\displaystyle{ t=1}\) \(\displaystyle{ -1+3*1=-1+3=2}\)

\(\displaystyle{ z=3-4*t}\) \(\displaystyle{ Dla}\) \(\displaystyle{ t=0}\) \(\displaystyle{ 3-4*0=3-0=3}\) \(\displaystyle{ Dla}\)
\(\displaystyle{ t=1}\) \(\displaystyle{ 3-4*1=3-4=-1}\)

Korzystam z darmowego środowiska matematycznego „Freemat".
Wystarczy tylko wkleić cały kod w konsolę komend i już widać wykres.

Kod: Zaznacz cały

% START 
% Wyznaczenie prostej parametrycznej w przestrzni 3d: 
% Zakładamy ,że:

% gdzie 0 <= t <= 1
% Parametr „t" jest zmienny ze skokiem o 0.1 
t=[0:.1:1];

A=[2;-1;3]; 
B=[1;2;-1]; 

% AB=[ABx,ABy,ABz]
% Musimy dobrać takie ABx,ABy,ABz aby A=[2;-1;3]; dawało nam B=[1;2;-1]; 

Obliczenia:
x=2-1*t;    % Dla t=0, 2-1*0=2-0=2        Dla t=1 2-1*1=2-1=1
y=-1+3*t;  % Dla t=0, -1+3*0=-1+0=-1  Dla t=1 -1+3*1=-1+3=2
z=3-4*t;    % Dla t=0, 3-4*0=3-0=3        Dla t=1 3-4*1=3-4=-1

%W wyniku tego jak wyżej widać nasze ABx=-1, ABy=3, ABz=-4
% AB=[ABx,ABy,ABz]=[-1,3,-4]
% Rysujemy teraz wykres:)
plot3(x,y,z, ' -s' ); grid on; 

%Podpisujemy wykres:
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z'); 

% Zaznaczamy nasze początkowe punkty na wykresie.
hold on; 
plot3(2,-1,3, ' y*' ), grid on;

hold on; 
plot3(1,2,-1, ' b*' ), grid on;

% ENDE
Ostatnio zmieniony 6 paź 2018, o 18:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Blaine091
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 paź 2018, o 17:46
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczanie prostej w przestrzeni

Post autor: Blaine091 » 31 lip 2019, o 15:39

[quote="oll93"]2x - y + 3z + 1 = 0
x + 2y - z + 4 = 0

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?[/quote]

Zaczniemy od początku ponieważ:

\(\displaystyle{ [2,-1,3] \times [1,2,-1]=[2,-2,-3]}\)

\(\displaystyle{ [A_1,B_1,C_1] \times [A_2,B_2,C_2]=[a,b,c]}\)

teraz mam wektor, który wyznacza tą prostą

[quote="a4karo"][quote="oll93"]2x - y + 3z + 1 = 0
x + 2y - z + 4 = 0

mam zapisać przedstawienie parametryczne tej prostej
doszłam do [2,-1,3]x[1,2,-1]= [-5,5,5]
nie za bardzo zrozumiałam jak dalej mam postępować, nie wiem co do czego podstawić.Mógłby ktoś mnie nakierować?[/quote]

Ponieważ wektor \(\displaystyle{ [2,-1,3]}\) jest prostopadły do pierwszej płaszczyzny, a \(\displaystyle{ [-5,5,5]}\) jest prostopadły do niego, wiec ten ostatni leży w tej płaszczyżnie. Na tej samej zasadzie leży w drugiej płaszczyżnie, zatem leży w ich przecięciu. Masz zatem wektor, który wyznacza tę prostą. Potrzebujesz jeszcze punktu na prostej. Wstaw do równań płaszczyzny np \(\displaystyle{ x=0}\) i rozwiąż je ze względu na \(\displaystyle{ y,z}\)[/quote]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z+1=0 \\ x+2y-z+4=0 \end{cases}}\)

Podstawiam za \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0-y+3z+1=0 \\ 0+2y-z+4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -y+3z+1=0 \\ 2y-z+4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ 2y-z+4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ 2(3z+1)-z+4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ 6z+2-z+4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ 5z+6=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ 5z=-6/5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3z+1 \\ z=-1,2 \end{cases}}\)

Liczę \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ y=3 \cdot (-1,2)+1}\)

\(\displaystyle{ y=-3,6+1}\)

\(\displaystyle{ y=-2,6}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=0 \\ y_0=-2,6 \\ z_0=-1,2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Spr: x+2y-z=0 0+ 2 \cdot (-2,6)-(-1,2)+4=0 -5,2+1,2+4=0 -4+4=0}\)

Teraz zajmujemy się równaniem kierunkowym według Crizza:

[quote="Crizz"]Jest kilka sposobów. Najbardziej intuicyjnym jest równanie krawędziowe prostej: dana prosta może być traktowana jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn; można ją zatem opisać równaniem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}}\)

Takie równanie jest w oczywisty sposób niewygodne. Innym sposobem jest wspomniane równanie parametryczne lub też kanoniczne (kierunkowe):
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},t\in\mathbb{R}}\)
Pierwsze z podanych równań to równanie kanoniczne (oczywiście o ile \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\), w przeciwnym wypadku nie da się zapisać równania kanonicznego).

Oba te równania przedstawiają prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\), równoległą do \(\displaystyle{ [a,b,c]}\).



Równanie krawędziowe łatwo przekształcić na równanie kierunkowe: \(\displaystyle{ [a,b,c]=[A_1,B_1,C_1] \times [A_2,B_2,C_2]}\), trzeba jeszcze wyznaczyć dowolne rozwiązanie układu utworzonego przez równania płaszczyzn, żeby otrzymać \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\).[/quote]

\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases},0 \le t \le 1}\)

Posiadam punkt na tej prostej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=0 \\ y_0=-2,6 \\ z_0=-1,2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ [a,b,c]=[2,-2,-3]}\)

Teraz wystarczy, że tą naszą prostą L narysuję:

\(\displaystyle{ L:\begin{cases} x=2t \\ y=-2,6-2t \\ z=-1,2-3t \end{cases},0 \le t \le 1}\)

\(\displaystyle{ Obliczenia: x=2t; Dla t=0, 2 \cdot 0=0 Dla t=1 2 \cdot 1=2 y=-2,6-2t; Dla t=0, -2,6-2 \cdot 0=-2,6 Dla t=1 -2,6-2 \cdot 1=-2,6-2=-4,6 z=-1,2-3t; Dla t=0, -1,2-3 \cdot 0=-1,2 Dla t=1 -1,2-3 \cdot 1=-1,2-3=-4,2}\)

Punkty krańcowe prostej \(\displaystyle{ L:\begin{cases} x=2t \\ y=-2,6-2t \\ z=-1,2-3t \end{cases},0 \le t \le 1}\)

\(\displaystyle{ A=\left\left [\begin{array}{ccc}0\\-2,6\\-1,2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B=\left\left [\begin{array}{ccc}2\\-4,6\\-4,2\end{array}\right]}\)

Kod do MatLab-a, jeśli ktoś chce zobaczyć wizualizację wykresu 3d. Punkty na końcach prostej są zaznaczone gwiazdkami.

Kod: Zaznacz cały

% START
% Wyznaczenie prostej parametrycznej w przestrzni 3d:
% Zakładamy ,że:
t=[0:.1:1];

A=[2;-1;3];
B=[1;2;-1];

% Kropkę, dajemy gdyż tak się liczy.

AB=A.*B;

AB

  2
 -2
 -3

% Wyświetla nam wartość AB=[2;-2;-3];

x=2*t;
y=-2.6-2*t;
z=-1.2-3*t;
plot3(x,y,z, ' -s' );
grid on;


xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

hold on;
plot3(0,-2.6,-1.2, ' y*' ), grid on;

hold on;
plot3(2,-4.6,-4.2, ' b*' ), grid on;

% ENDE

ODPOWIEDZ