Znaleźć macierze spełniające równanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: Arst » 2 lut 2011, o 20:43

Znaleźć wszystkie macierze X spełniające równanie: \(X \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&2&0\\0&1&1\\-1&0&1 \end{array}\right]\) Chciałbym poznać jaka jest najszybsza metoda rozwiązania tego zadania? Znalazłem jedną macierz \(4 \times 3\) przekształcając: \(XA=B \rightarrow X=BA^{-1}\) Ale to chyba jeszcze nie koniec zadania? Dodatkowo chciałbym się dowiedzieć w sprawie układu z parametrem, jeśli mam znaleźć wszystkie liczby dla których układ: nie ma rozwiązań, ma dokładnie jedno rozwiązanie, ma więcej niż jedno rozwiązanie, to jak powinienem postąpić? Np. w przypadku takiego układu: \(5x_1+2x_2-x_3=1 \\ 2x_1+3x_2+4x_3=7 \\ 4x_1-5x_2+ \lambda x_3= \lambda-5\) Potraktowałem go Gaussem i stwierdziłem, że dla \(\lambda \not =-14\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla \(\lambda=14\) rozwiązań nie ma (sprzeczny), ale jak znaleźć parametry dla których układ ma więcej niż jedno rozwiązanie? Dzięki za odpowiedzi. Pozdrawiam, A.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: » 2 lut 2011, o 21:52

\(XA=B \rightarrow X=BA^{-1}\) Ale to chyba jeszcze nie koniec zadania?
Owszem, koniec (no, trzeba jeszcze policzyć tę macierz odwrotną, a potem wymnożyć macierze).
Potraktowałem go Gaussem i stwierdziłem, że dla \(\lambda \not =-14\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla \(\lambda=14\) rozwiązań nie ma (sprzeczny), ale jak znaleźć parametry dla których układ ma więcej niż jedno rozwiązanie?
Po pierwsze: lepiej było Cramerem. Po drugie: w ogólności przecież może nie istnieć lambda dla którego układ jest nieoznaczony. Po trzecie: chyba się pomyliłeś, bo dla minus czternastki wychodzi układ nieoznaczony. W takim razie nie ma takiej wartości lambda, dla której układ byłby sprzeczny. Q.

Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: Arst » 2 lut 2011, o 21:58

Możliwe, że zrobiłem błąd, zrobię ten przykład raz jeszcze, dzięki za pomoc Jeszcze takie pytanie: czy jeśli mam znaleźć niezerowe rozwiązania równania: \((A-\lambda I)X=0\), to badam wyznacznik macierzy \((A-\lambda I)\)?

ODPOWIEDZ