Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{sin(\frac{1}{n})}{1+ln{n}}=0}\)

Ma ktoś pomysł na taki szereg? Bo jak dla mnie jedynie KP można coś to zrobić, a nie wychodzi mi zbyt w tym przypadku poszukiwanie niczego konstruktywnego.

Temat nic nie mówi o treści posta. Poprawiam. Calasilyar

hmm...
ale ten szereg nie jest rowny zero...

Byc moze, ale u mnie nie przerabiamy kryterium calkowego, zatem chcialbym dowod tego w inny sposob (innym kryterium)

Ale i tak dziekuje

\(\displaystyle{ sin(\frac{1}{n})}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\)
mianownik dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\)

Całość dąży do \(\displaystyle{ 0}\)

.... DOWIEDZ SIE PIERW CO TO SA SZEREGI ZANIM COS NAPISZESZ

widziałem rozwiązanie z porównawczego w postaci ilorazowej. Natomiast korzysta ono z kilku twierdzeń, np. ze wzoru Lagrange'a i jest trochę zawiłe (jak chcesz jest w II tomie Fichtenholtza). Proponuję kryterium kondensacyjne, bardzo proste:

Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem monotonicznie zbieżnym do \(\displaystyle{ 0}\) to szereg \(\displaystyle{ \sum{a_n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum{b^na_{b^n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in \mathbb{N}}\)

posiłkując się tym i KP masz:

\(\displaystyle{ \frac{\sin{1}{n}}{1+lnn}>\frac{\frac{2}{\pi}\frac{1}{n}}{lnn+lnn}=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{nlnn}}\)

a korzystając z kryt. kondensacyjnego:

\(\displaystyle{ 2^na_{2^n}=2^n\cdot \frac{1}{2^nln2^n}=\frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{n}}\)

a to jest szereg harmoniczny rzędu I

dziekuje