Matematyka.pl

czesc!
dostałam za zadanie wykonanie dowodu to takiego faktu:
dla dowolnego naturalnego k zachodzą równości:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n+k]{n}=1}\) ,
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+k}=1}\).
nie mam za bardzo pojecia jak to ruszyc wiec jak by ktos potrafil to z gory dzieki!

Bardzo prosto, o ile założymy, że dowód na to, że zachodzą:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n}=1}\)
jest już przerobiony...

Mianowicie wystarczy pokazać, że:

\(\displaystyle{ 1 q \sqrt[n+k]{n} q \sqrt[n]{n}}\)
co dowodzi (na podstawie tw. o trzech ciągach) istnienia pierwszej granicy.



Natomiast co do drugiej, znowu wystarczy pokazać, że:

\(\displaystyle{ 1 q \sqrt[n]{n+k} q \sqrt[n]{2n}}\)


(Uwaga! Powżysza nierówność spełniona jest oczywiście "dla dostatecznie dużych n" (a konkretnie dla \(\displaystyle{ n q k}\)))

( \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{2n} = \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{2} \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 1 = 1}\))


Pozdrawiam

dzieki za pomoc.

[ Dodano: 11 Grudzień 2006, 19:42 ]
wszystko by bylo pieknia ale jak pokazac nierownosc:
\(\displaystyle{ 1 q \sqrt[n+k]{n} q \sqrt[n]{n}}\)
chodzi mi o ta druga bo pierwsza jest oczywista.