Matematyka.pl

Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:

Zmienne X i Y są niezależne i mają jednakowe rozkłady wykładnicze z parametrem 1. Niech U=X+Y i V=X-Y. Znaleźć gęstość wektora (U,V). Czy U,V są niezależne ?

Z góry dzięki

Z niezależności X i Y otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}e^{-y}}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in (0;\infty)}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ f_{U,V}(u,v)=\frac{e^{-\frac{u+v}{2}}e^{-\frac{u-v}{2}}}{\left||\begin{smallmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{smallmatrix}|\right|}=\frac{e^{-u}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ u \in (0;\infty), v \in (-u;u)}\)

W mianowniku jest wartość bezwzględna jakobianu przekształcenia. Widać też, że zmienne nie są niezależne!

Jeżeli ktoś nie wierzy, to zawsze można policzyć gęstości brzegowe i sprawdzić, że ich iloczyn nie daje gęstości rozkładu łącznego.

\(\displaystyle{ f_{V}(v)=\int_{|v|}}^{\infty}\frac{e^{-u}}{2}du=\frac{e^{-|v|}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ v \in (-\infty;\infty)}\) (rozkład Laplace'a)
\(\displaystyle{ f_{U}(u)=\int_{-u}}^{u}\frac{e^{-u}}{2}dv=ue^{-u}}\) dla \(\displaystyle{ u \in (0;\infty)}\)