Przekształcenia liniowe
: 31 sty 2011, o 14:15
1. Znaleźć wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) z macierzą symetryczną \(\displaystyle{ A}\) w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ \left\{e_1,e_2,e_3\right\}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) oraz sprawdzić, czy wektory własne stanowią bazę ortogonalną w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jeśli:
\(\displaystyle{ A=\left[
\begin{array}{ccc}
1&3&0\\
3&-2&-1\\
0&-1&1
\end{array}\right]}\).
2. Sprawdzić czy dany układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{u_1,u_2\right\}}\) stanowi bazę ortonormalną przestrzeni wektorowej euklidesowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z iloczynem skalarnym kanonicznym w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ \left\{e_1,e_2\right\}}\), jeśli \(\displaystyle{ u_1=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\), \(\displaystyle{ u_2=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\) i obliczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ u=(1,4)}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{u_1,u_2\right\}}\).
------------
Wektory i wartości własne to drobnostka ale proszę o przeprowadzenie obliczeń celem sprawdzenia.
\(\displaystyle{ A=\left[
\begin{array}{ccc}
1&3&0\\
3&-2&-1\\
0&-1&1
\end{array}\right]}\).
2. Sprawdzić czy dany układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{u_1,u_2\right\}}\) stanowi bazę ortonormalną przestrzeni wektorowej euklidesowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z iloczynem skalarnym kanonicznym w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ \left\{e_1,e_2\right\}}\), jeśli \(\displaystyle{ u_1=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\), \(\displaystyle{ u_2=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\) i obliczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ u=(1,4)}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{u_1,u_2\right\}}\).
------------
Wektory i wartości własne to drobnostka ale proszę o przeprowadzenie obliczeń celem sprawdzenia.