Matematyka.pl

Witam, ostatnio zabrałem się przez całki i trafiłem na pewien problem całkując przez części.

\(\displaystyle{ \int_{}^{}ln(1+x^2) dx = \left| \frac{g=x}{g'=1} \frac{f'=ln\ (1+x^2)}{f= \frac{1}{1+x^2} } \right|}\) (niestety nie bardzo wiem jak zapisać to bez kresek ułamkowych w texie, mam nadzieję, że jest czytelne)

I tu jest mój problem, bo następny krok wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ \int_{}^{}ln(1+x^2) dx = \left| \frac{g=x}{g'=1} \frac{f'=ln\ (1+x^2)}{f= \frac{1}{1+x^2} } \right| = \frac{x}{1+x^2} - \int_{}^{} \frac{1}{1+x^2} dx}\)

Natomiast jeżeli obrócę tę część w tabeli i napiszę

\(\displaystyle{ \left| \frac{g=ln (1+x^2)}{g' = \frac{2x}{1+x^2} } \frac{f'=1}{f=x} \right|}\)

zamiast
\(\displaystyle{ \left| \frac{g=x}{g'=1} \frac{f'=ln\ (1+x^2)}{g= \frac{1}{1+x^2} } \right|}\)

Więc po prostu zamienię kolejność dostaję coś takiego jak w odpowiedzi. Coś co łatwiej policzyć niż to moje.


\(\displaystyle{ \int_{}^{}ln(1+x^2) dx = \left| \frac{g=ln (1+x^2)}{g' = \frac{2x}{1+x^2} } \frac{f'=1}{f=x} \right| = x*ln\ (1+x^2) - \int_{}^{} \frac{2x^2}{1+x^2} dx}\)

W takim wypadku dostaję coś co łatwiej się liczy. I taki wynik jest w skrypcie z którego korzystam.

Moje pytanie. Skąd mam wiedzieć jaką kolejność ustawić w tabeli?

Jestem początkujący z analizą, więc jeżeli popełniłem jakąś gafę to przepraszam.

Wiem, że całkowanie przez części to korzystanie ze wzoru oraz że iloczyn jest przemienny, mimo to mam pewne problemy którą kolejność wybrać. Proszę o pomoc.

Dzoniak pisze:

\(\displaystyle{ \int_{}^{}ln(1+x^2) dx = \left| \frac{f=ln (1+x^2)}{f' = \frac{2x}{1+x^2} } \frac{g'=1}{g=x} \right| = x*ln\ (1+x^2) - \int_{}^{} \frac{2x^2}{1+x^2} dx}\)

Tu dobrze policzyłeś, wyżej masz błędy rachunkowe

Co do zapisu w Tex, to wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} f=ln (1+x^2) \ \ \ f \prime = \frac{2x}{1+x^2} \\ g \prime=1 \ \ \ g=x \end{vmatrix}}\)

Wielkie dzięki kolego, jeżeli mógłbyś zerknąć jeszcze na to:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x*sinx dx = \begin{vmatrix}f=sinx \ \ \ g\prime=x \\ f\prime=cosx \ \ \ g=\frac{x^2}{2} \end{vmatrix} = \frac{x^2}{2} * sinx - \frac{1}{2} \int_{}^{} x^2 cosx dx}\)

Gdzieś mam błąd, bo licząc tak przez części nigdy tego nie obliczę.

lepiej będzie jak za \(\displaystyle{ f}\) "podstawisz" \(\displaystyle{ x}\), a za \(\displaystyle{ g'}\) "podstawisz" \(\displaystyle{ \sin x}\)
wtedy nie będzie tego brzydkiego \(\displaystyle{ x^2}\)

Wiem, że podstawiając to w ten sposób dochodzę do wyniku znacznie szybciej:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x*sinx dx = \begin{vmatrix}f=x\ \ \ g\prime=sinx \\ f\prime=1 \ \ \ g=-cosx \end{vmatrix} = -xcosx + \int_{}^{} cosx dx = -xcosx+sinx+c}\)

ciekawi mnie jednak sytuacja odwrotna. Właśnie tu leży mój problem, nie wiem z której funkcji najpierw liczyć pochodną, a z której liczyć całkę. Jest jakaś zasada czy po prostu muszę liczyć więcej zadań?

Dzoniak pisze:Wielkie dzięki kolego, jeżeli mógłbyś zerknąć jeszcze na to:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x*sinx dx = \begin{vmatrix}f=sinx \ \ \ g\prime=x \\ f\prime=cosx \ \ \ g=\frac{x^2}{2} \end{vmatrix} = \frac{x^2}{2} * sinx - \frac{1}{2} \int_{}^{} x^2 cosx dx}\)

Gdzieś mam błąd, bo licząc tak przez części nigdy tego nie obliczę.

znowu przez części

Dzoniak pisze:Właśnie tu leży mój problem, nie wiem z której funkcji najpierw liczyć pochodną, a z której liczyć całkę. Jest jakaś zasada czy po prostu muszę liczyć więcej zadań?

metodą prób i błędów, nie ma na to gotowej rady, gdzie ci łatwiejsze całki wychodzą do policzenia

P.S. mnożenie zapisujemy w TeX \(\displaystyle{ \cdot}\) tzn.

w tym wypadku całkowanie przez części za każdym razem będzie zwiększało potęgę \(\displaystyle{ x}\), musisz starać się dążyć do takiej sytuacji gdzie pozbędziesz się tego \(\displaystyle{ x}\)
Widzisz, że pochodna sinusa to cosinus, a cosinusa to -sin, -sin to -cos i tak dalej, więc jedyną drogą do wyliczenia całki jest zrobienie z \(\displaystyle{ x}\) jedynki, gdybyś miał w tym przykładzie np. \(\displaystyle{ \int x^2\cdot \sin x}\) to musiałbyś całkować przez części dwukrotnie w jednym zadaniu...