Matematyka.pl

z gory przepraszam jezeli nie ten dzial


policz pochodna funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \int_{cosx}^{sinx} t^{2} \mbox{d}t}\)


nie chce zakladac nowego tematu, wiec prosze rowniez o w miare formalny( ale bez przesady) zapis takiego zadania:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, x - wymierne \\ -1, x - niewymierne \end{cases}}\)

Albo możesz po prostu policzyć tę całkę i wynik zróżniczkować, albo skorzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{\varphi(x)}^{\psi (x)}f(t) \mbox{d}t \Rightarrow F'(x)=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)}\)
A w 2. to o co chodzi? O zapis w stylu \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Q}}\)?

1
wlasnie doszedlem do tego tak jak piszesz w pierwszym zdaniu, a wzoru nie znalem.

2
sorry, w ogole nie napisalem o co chodzi..

policzyc calke gorna i dolna, wiadomo ile one wynosza, ale chodzi o to, zeby jakos w miare krotko rozpisac sumy...

No to załóżmy, że mamy dany przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\) i jego dowolny podział \(\displaystyle{ \pi}\) na podprzedziały o długości \(\displaystyle{ \Delta_{x_i}}\). Na każdym takim podprzedziale mamy \(\displaystyle{ M_i=\sup f(x)=\frac{1}{2},\ m_i=\inf f(x)=-1}\). Stąd suma górna \(\displaystyle{ S(\pi)=\sum_i\Delta_{x_i}M_i=\frac{b-a}{2}}\), suma dolna \(\displaystyle{ s(\pi)=\sum_i \Delta_{x_i}m_i=-(b-a)}\). Bierzemy normalny ciąg podziałów \(\displaystyle{ \pi_n}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \overline{\int_a^b} f(x) \mbox{d}x =\lim_{n\to\infty}S(\pi_n)=\frac{b-a}{2}\\\underline{\int_a^b} f(x) \mbox{d}x=\lim_{n\to\infty}s(\pi_n)=-(b-a)}\)