Udowodnij, że równanie ma jedno rozwiązanie
: 25 sty 2011, o 19:21
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ \lambda >1}\) równanie \(\displaystyle{ z\cdot e^{\lambda -z}=1}\) ma w dysku \(\displaystyle{ \left\{ z \in \mathbb{C} : |z|<1\right\}}\) dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono liczbą rzeczywistą.
Zaczynam tak:
\(\displaystyle{ z\cdot e^{\lambda -z}=1 \\ z\cdot e^{\lambda}\cdot e^{ -z}=1 \\ z\cdot e^{\lambda}=e^{z}}\)
Żeby dwie liczby zespolone były sobie równe, ich cześci rzeczywiste i urojone muszą być sobie równe, więc zamieniam \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ x+iy}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot e^{\lambda}=e^x\cdot \cos y \\ y \cdot e^{\lambda}=e^x\cdot \sin y \end{cases}}\)
Trop mi się w tym miejscu urywa
Zaczynam tak:
\(\displaystyle{ z\cdot e^{\lambda -z}=1 \\ z\cdot e^{\lambda}\cdot e^{ -z}=1 \\ z\cdot e^{\lambda}=e^{z}}\)
Żeby dwie liczby zespolone były sobie równe, ich cześci rzeczywiste i urojone muszą być sobie równe, więc zamieniam \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ x+iy}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot e^{\lambda}=e^x\cdot \cos y \\ y \cdot e^{\lambda}=e^x\cdot \sin y \end{cases}}\)
Trop mi się w tym miejscu urywa