Matematyka.pl

zad.1 znalezc najmniejsza liczbe zlozona ( nie pierwsza ) rownania :\(\displaystyle{ n^{4}+(n+1)^{4}}\) gdzien n - dowolna naturalna

zad 2 dowiesc ze n>1 ( naturalna) to wsrod licz n+1 ,n+2 ,.... , n+10 mamy co najwyzej 4 liczby pierwsze

zad 3 dowiesc ze liczby Mersene'a moga byc okreslone przez warunki M1=1 , M2=3 , Mn+2= 3Mn+1-2M1 dla n =1 , 2,...

czy jest jakis krotszy sposob na te zadania niz liczenie pokolej i sprawdzanie

AD.2.
Dowód poglądowy (przez machanie rękami).
10 kolejnych liczb naturalnych zawiera dokładnie 5 liczb nieparzystych.
Wśród 5 kolejnych liczb nieparzystych jedna z nich zawsze jest podzielna przez 5, a więc nie może być pierwszą.
Zostają nam 4 liczby nieparzyste, o których w ogólności nic konkretnego nie możemy powiedzieć a więc teoretycznie mogą być pierwsze dla konkretnego n.

Zad2)
Zadanie to zostało prawie dobrze rozwiązane powyżej.
Wsród 10 kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie 5 parzystych, więc pozostaje tylko 5 liczb jako kandydaci na liczby pierwsze.
Ale wśrod 10 kolejnych liczb naturalncyh istnieje co najmniej liczba nieparzysta podzielna przez 3. Dowód jest łatwy. Zauważmy że liczba parzysta podzielna przez 3 ma ostanią cyfrę 6,2,8,4,0. Tak więc dodając lub odejmując 3 otrzymamy nową liczbę podzielną przez 3 ale nieparzystą. Jesteśmy teraz w stanie dobrać n tak, by w zbiorze 10 kolejnych liczb znalazła się liczba parzysta podzielna przez 3 i nieparzysta podzielna przez 3. Z tego wynika, że wyrzucamy kolejną liczbę złożoną i zostają nam tylko 4 liczby, z których już na 100% żadnej nie wyrzucimy.

nie koniecznie np liczba 22 ma ostatnia cyfre 2 anie dzieli sie przez 3

[ Dodano: 7 Grudzień 2006, 22:57 ]
przez 3 dziela sie te liczby ktorych suma dzieli sie przez 3 np 966=9+6+6=21

on nie twierdzi ze liczba dzieli sie przez 3 gdy ma ostatnia cyfre 6,2,8,4,0 tylko ze jezeli liczba jest parzysta i dzieli sie przez 3 to napewno ma ostatnia cyfre ktoras z podanych