Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int x^{2}sin4x dx = \frac{1}{3}x^{3}sin4x -\int \frac{1}{3}x^{3} \cdot 4cos4x dx =\frac{1}{3}x^{3}sin4x -\frac{1}{3}x^{3}sin4x + \int x^{2}sin4x dx}\)

Tak się zastanawiam, czy ma tak być i zostawić jako tożsamość czy też jakoś inaczej to trzeba robić?

Dziękuję za pomoc

Nie może tak być, bo zamiast wyniku całki otrzymujesz tożsamość.
Owszem, należy całkować przez części, ale źle przyjmujesz funkcję do scałkowania i do zróżniczkowania. Zrób to odwrotnie.

Czyli:

\(\displaystyle{ \int x^{2}sin4x dx = \frac{1}{4}cos4x \cdot x^{2} + \int \frac{1}{4}cos4x \cdot 2x dx =\frac{1}{4}cos4x \cdot x^{2} + \frac{1}{8}xsin4x + \frac{1}{32}cos4x +C}\)

tak? czy jeszcze gdzieś się machnąłem? Jeszcze takie pytanie odnośnie tej stałej C... wystarczy jak dopisze ją na końcu, czy powinienem ją dopisywać po każdej całce i w konsekwencji tutaj np jak jade 2 razy przez części to byłoby 2C? chyba raz wystarczy, prawda?

Metoda dobra, rachunki na pierwszy rzut oka poprawne.
Stałą całkowania pisz właśnie tak jak w tym przykładzie.