Matematyka.pl

funkcja: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}}\)
pierwsza pochodna obliczona, wyszło: \(\displaystyle{ \frac{2x+1}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})} = \frac{2x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\)

ale drugiej pochodnej za chiny pańskie nie wiem jak policzyć, jakby ktoś mógł krok po kroku policzyć, oraz napisać z jakich wzorów korzysta byłbym wdzięczny mile widziany także słowny komentarz.

Niech
\(\displaystyle{ g(x)=h(x)e(x)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)[h(x)e(x)]'}{[h(x)e(x)]^2}=\\\\=\frac{f'(x)h(x)e(x)-f(x)h'(x)e(x)-f(x)h(x)e'(x)}{[h(x)e(x)]^2}}\)
teraz wystarczy podstawić odpowiednie funkcje.

pochodna z \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\) czy tak? jesli tak to dlaczego?
dlaczego nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2.\sqrt{x^2+1}}}\)

to jest pochodna funkcji złożonej
\(\displaystyle{ [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)}\)
czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ (\sqrt{x^2+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot (x^2+1)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)

doszedłem do takiego cudeńka, da się jeszcze coś z tym zrobić?


\(\displaystyle{ \frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\) =


\(\displaystyle{ \frac{(2x^2+2)(\sqrt{x^2+1})-(4x^2+2x)(\sqrt{x^2+1})-(\frac{2x^4+x^3+2x^2+x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}}\)

bo przede mną jeszcze analiza tej drugiej pochodnej, (przebieg zmienności funkcji) i ciężko byłoby analizować coś takiego

Niepotrzebnie rozpisywałeś ostatnie wyrażenie, pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+1}}\), po uporządkowaniu i skróceniu tego, co się da powinieneś otrzymać
\(\displaystyle{ \frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)

@adams

za skarby świata nie mogę doprowadzić do takiego wyniki jak podałeś, mógłbyś od początku do końca te obliczenia przedstawić?

będę bardzo wdzięczny.

od razu pytanko czy ta druga pochodna będzie mogła mieć dwa punkty przegięcia, narysowałem sobie jej wykres przy pomocy programu derive, wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}=\\\\=
\frac{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(2x)(\sqrt{x^2+1})-(2x+1)(x^2+1)(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}{[(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})]^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\\\\=
\frac{2(x^2+1)(x^2+1)-(2x+1)(2x)(x^2+1)-(2x+1)(x^2+1)x}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}} =\\\\=\frac{(x^2+1)[2(x^2+1)-(2x+1)2x-(2x+1)x]}{(x^2+1)^3\sqrt{x^2+1}}=\\\\=\frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}\)
a odpowiedź na 2 pytanie pozostawiam innym znawcom tematu

Ok duga pochodna jest policzona nie będe się o tym rozpisywał.

Punkty przegięcia.
Punkt \(\displaystyle{ x_o}\) nazywamy punktem przegięcia gdy \(\displaystyle{ f''(x_0)=0}\). Punkt przegięcia jest to także taki punkt w którym następuje zmiana wypukłości/wklęsłości funkcji (funkjca zmienia właściwość z wypukłej na wklęsłą i odwrotnie- o co chodzi dokładnie napiszę dalej).
szukamy punktów przegięcia z przykładu:
\(\displaystyle{ -4x^2-3x+2=0\\
\Delta=9+32=41\\
x_1=\frac{3-\sqrt{41}}{-8}=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{-8}=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) ma dwa punkty przegięcia: \(\displaystyle{ x_1=\frac{\sqrt{41}-3}{8}\\
x_2=-\frac{3+\sqrt{41}}{8}\\}\)
Jakby patrzeć na wygenerowany wykres to punkty przegięcia się zgadzają z tym co jest na rysunku.
Dodatek: jeżeli \(\displaystyle{ f'(x_0)=0}\) i w \(\displaystyle{ x_0}\) nie następuje zmiana znaku pierwszej pochodnej, to jest to znak na to że dany punkt \(\displaystyle{ x_0}\) może być punktem przegięcia (nie jestem w 100% pewien czy musi nim być)


Teraz czas na wypukłość/wklęsłość.

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\frac{3+\sqrt{41}}{8};\frac{\sqrt{41}-3}{8}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) jeśli:
\(\displaystyle{ \forall_{x (a;b)}: f''(x) q 0}\)
Innymi słowy: każda styczna do wykresu w danym przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\) leży nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Jeszcze inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wklęsła w każdym przedziale w którym \(\displaystyle{ f''(x) q 0}\)
Dla przykładu jet to przedział: \(\displaystyle{ (-\infty;-\frac{3+\sqrt{41}}{8}) \cup (\frac{\sqrt{41}-3}{8};+\infty)}\)

Jak coś jeszcze potrzeba, pisz

P.S. mam nadzieję że się nigdzie nie pomyliłem