Matematyka.pl

Robiłem trochę zadań typu \(\displaystyle{ a+b=10}\) znajdź minimalną wartość funkcji \(\displaystyle{ f(a,b)=ab}\)

Zawsze w tego typu zadaniach otrzymywałem że ekstremum funkcji będzie gdy \(\displaystyle{ a=b}\), i nasuwa mi się pewne ogólne twierdzenie:
Twierdzenie wydaje się być intuicyjnie prawdziwe dla dwóch liczb, dla większej ilości - nie wiem. Proszę o pomoc w rozstrzygnięciu.

Z góry dzięki.

PS: Nie wiedziałem jaki dział jest dobry, bo w sumie mógłbym to dodać do działu z wielomianami... Jeśli jest źle to proszę o przeniesienie.

No i co, taki szmat czasu i żadnej odpowiedzi? Na forum jest przecież tyle "mocnych" osób, na pewno coś ktoś wie!

Niech \(\displaystyle{ W(a,b)=a^2+b-1}\), \(\displaystyle{ P(a,b)=a+b}\). Wówczas ekstremum \(\displaystyle{ P}\) jest dla \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{3}{4}}\).

Przecież w \(\displaystyle{ W(a,b)=a^2+b-1}\) nie możemy zamienić zmiennych. Wtedy będzie \(\displaystyle{ W(b,a)=b^2+a-1}\) a to nie to samo, czyż nie?

PS: Niezbyt rozumiem wybór działu, i nazwanie mojego tematu "(...) - zadanie 8". Czy to po prostu taki sposób porządkowania tematów?

PS2: Chciałbym rozjaśnić trochę to co myślę bo zapisałem to dość sztywno. Chodzi o to, że \(\displaystyle{ W(a,b)}\) jest zależnością łączącą zmienne a i b, i szukamy ekstremów wielomianu/funkcji \(\displaystyle{ P(a,b)}\) spełniających taka zależność. A z zamiana zmiennych chodzi o to że \(\displaystyle{ W(a,b)=W(b,a)}\)

Do znajdywania warunków koniecznych dla takich prostych przypadków, o ile wiesz tylko co to pochodna (dużo więcej nie potrzeba), może bardzo dobrze posłużyć:

Wiem, a przynajmniej potrafię za jej pomocą liczyć ekstrema. Nieszczególnie odnajduję się w tej metodzie, ale udało mi się zrobić przykład podany przez śmigola... Liczba reprezentowana przez dziwną podobną do A grecką literę jest tylko po to by wyprowadzić zależność między zmiennymi, tak?

Jak to się ma do postawionego przeze mnie pytania? \(\displaystyle{ f(a,b)=f(b,a)}\) implikuje że \(\displaystyle{ f'_{a}(a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ f'_{b}(a,b)}\) mają tą samą postać... I po wstawieniu do układu dla niektórych, prostych przypadków dowodziłoby to postawionego twierdzenia - że a=b... O ile dobrze rozumuję bo trochę się w tym gubię ;p

Link do polskiej wersji:

Nie każdy jest biegły w angielskich odpowiednikach pojęć matematycznych... Chociaż w sumie polska strona zdaje się być uboższa.

Kontrprzykład do twojego twierdzenia:
\(\displaystyle{ W(x) = (x-y)^2-9}\), \(\displaystyle{ P(x) = x^2+y^2}\)
Oba są symetryczne względem zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) więc spełniają założenia Twojego twierdzenia.
Jeśli teraz \(\displaystyle{ W(x)=0}\) to \(\displaystyle{ x=y-3}\) lub \(\displaystyle{ x=y+3}\) w obu przypadkach \(\displaystyle{ x \neq y}\) więc nie dostaniesz przy takim warunku wartości największej \(\displaystyle{ P(x,y)}\) w takim punkcie że \(\displaystyle{ x=y}\).


A teraz prawidłowe uogólnienie:
Jeśli liczby dodatnie spełniają warunek: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_n = S}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(P) = x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=...=x_n}\) co jest prostym wnioskiem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.


Wracając do typu zadań który podałeś na początku:
\(\displaystyle{ a+b=10}\)

Gdy a i b są nieujemne to \(\displaystyle{ ab \le (\frac{a+b}{2})^2 = 25}\)
Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=5}\), jeśli jedna z tych liczb jest ujemna to \(\displaystyle{ ab<0<25}\) więc największa wartość to \(\displaystyle{ 25}\).

Dzięki, dobry przykład. Twoje uogólnienie jest oczywiste, a ja to co napisałem NIE oparlem tylko na wskazanym typie zadań, to był tylko banalny przykład! Można wymyślić różne, np funkcje zawierające logarytmy, i dla wielu z nich twierdzenie będzie spełnione... Więc pewnie istnieje po prostu jakieś inne kryterium, poza symetrycznością wgl zmiennych.

Nie lepiej po prostu wiedząc, że \(\displaystyle{ a+b=10}\) wyznaczyć jedną zmienną i wstawić do wzoru funkcji, otrzymamy wtedy:
\(\displaystyle{ f(a)=a(10-a)}\) a dalej to szkolne metody szukania wierzchołka paraboli.

rumcajs, tak, ale autor tematu chciał to uogólnić.

kp1311 pisze: A teraz prawidłowe uogólnienie:
Jeśli liczby dodatnie spełniają warunek: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_n = S}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(P) = x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=...=x_n}\) co jest prostym wnioskiem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.

Raczej odwrotnie ;p

Jeszcze coś takiego wpadło mi do głowy: w przykładzie kp1311 nie wychodzi x=y ale za to x=-y... Potrafi ktoś dać kontrprzykład w którym \(\displaystyle{ x \neq |y|}\)?

XMaS11 pisze:

kp1311 pisze: A teraz prawidłowe uogólnienie:
Jeśli liczby dodatnie spełniają warunek: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_n = S}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(P) = x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=...=x_n}\) co jest prostym wnioskiem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.

Raczej odwrotnie ;p

Fakt powinno być największą.

nobuddy pisze:Jeszcze coś takiego wpadło mi do głowy: w przykładzie kp1311 nie wychodzi x=y ale za to x=-y... Potrafi ktoś dać kontrprzykład w którym \(\displaystyle{ x \neq |y|}\)?

\(\displaystyle{ W(x,y) = (x^2-y^2)^2 +1, P(x,y) =x^2+y^2}\)

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Warunek początkowy \(\displaystyle{ W(x,y)=0}\) jest zbyt ogólny i przez to wszystko się nam sypie.
Ale rozważmy sobie coś takiego:
\(\displaystyle{ x+y=S}\) (\(\displaystyle{ S}\)-stała), \(\displaystyle{ P(x,y)}\) niech będzie wielomianem symetrycznym stopnia \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ P(x,y)}\) przyjmuje wtedy wartość ekstremalną dla \(\displaystyle{ x=y}\).
Dowód: \(\displaystyle{ P(x,y) = a(x^2+y^2)+b(x+y)+cxy+d}\)
\(\displaystyle{ P(x,y) = a(S^2 -2xy) + bS +cxy+d = (aS^2+bS+d) +(c-2a)xy}\)
Czyli jak widzimy gdy \(\displaystyle{ 2a}\) jest różne od \(\displaystyle{ c}\) to \(\displaystyle{ P(x,y)}\) przyjmuje wartość ekstremalną tylko wtedy \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje wartosć ekstremalną a to dzieje się dla \(\displaystyle{ x=y}\).

Proponuje ci pokombinować trochę z tym. Możesz na początek rozważyć więcej zmiennych, lub wyższy stopień wielomianu i zobaczyć co ci z tego wyjdzie.

Dzięki, słuszna uwaga. Zastosowałem ten sam sposób dla wielomianu P(x,y) stopnia trzeciego, i wyszło identycznie. Jak znajdę czas to spróbuję uogólnić na wielomian P(x,y) n-tego stopnia.

Trochę po czasie, ale dopiszę.

Niech \(\displaystyle{ (a,b)}\) będzie dowolnym punktem okręgu jednostkowego o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Istnieje wówczas wielomian symetryczny \(\displaystyle{ f}\) przyjmujący maksimum wartości na okręgu jednostkowym w punkcie \(\displaystyle{ (a,b)}\).

Ten wielomian to np.

\(\displaystyle{ w_n(x,y)=\left(ax+by\right)^{2n}+\left(ay-bx\right)^{2n}+\left(ay+bx\right)^{2n}+\left(ax-by\right)^{2n}}\)

dla odpowiednio dużego \(\displaystyle{ n}\) - zdaje się wystarczy już \(\displaystyle{ n=2}\).

Wynika to stąd, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}w_n(x,y)\ge 1}\)

dla \(\displaystyle{ (x,y)\in\{(\pm a,\pm b),(\pm b,\pm a),(\pm a,\mp b),(\pm b,\mp a)\}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}w_n(x,y)=0}\)

dla pozostałych \(\displaystyle{ (x,y)}\) z okręgu.

Nieco modyfikując ten argument można go rozszerzyć na przykład na wszystkie wielokąty foremne o środku w zerze.