Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left| \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=q<1}\)

to:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }u_{n}=0}\)

W podręczniku jest to wytłumaczone, ale nie rozumiem tego. Definicję granicy rozumiem i jest tam "wykorzystana". Mógłby ktoś po kolei mi to wyjaśnić? Będę wdzięczny.

Pozdrawiam.

Czego konkretnie nie rozumiesz?

Nie rozumiem chociażby takiego zdania:

Ciąg \(\displaystyle{ \left|u_{n}\right|}\) musi być od pewnego miejsca malejący, ponieważ na podstawie definicji granicy dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że:

\(\displaystyle{ \left| \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| \le q+\epsilon \hbox{ dla }n \ge N}\)

Dalszej części także nie rozumiem, ale czy mógłbyś to ubrać jakoś we własne słowa?

Ustaliliśmy \(\displaystyle{ \varepsilon}\) małe na tyle, aby zachodziło \(\displaystyle{ q+\varepsilon <1}\)
Z definicji granicy od pewnego miejsca , powiedzmy \(\displaystyle{ N \in \mathbb{N}}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ n \ge N}\)
\(\displaystyle{ \left| \left| \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right|-q\right| \le \varepsilon}\) zatem:
\(\displaystyle{ q-\varepsilon \le \left| \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| \le q+ \varepsilon}\) co dowodzi, że

\(\displaystyle{ \left| u_{n+1}\right| \le \left| u_{n}\right| (q+\varepsilon)}\)

W szczególności :
\(\displaystyle{ \left| u_{N+1}\right| \le \left| u_{N}\right| (q+\varepsilon)}\) powtarzając ten krok dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) dostajemy :
\(\displaystyle{ 0 \le \left| u_{n} \right| \le \left| u_{N}\right|(q+\varepsilon)^{n-N}\xrightarrow{n \rightarrow \infty}0}\) ( bo \(\displaystyle{ (q+\varepsilon)<1)}\)
Na podstawie tw o trzech ciągach.

Pozdrawiam.

Jakby ktokolwiek mógł mi wytłumaczyć przejście do ostatniej linijki, mianowicie:

\(\displaystyle{ 0 \le \left| u_{n} \right| \le \left| u_{N}\right|(q+\varepsilon)^{n-N}}\)

Resztę rozumiem.

\(\displaystyle{ 0 \le \left| u_{n} \right|}\) ta nierówność jest oczywista.
Kolejna:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \left| u_{N+1}\right| \le \left| u_{N}\right| (q+\varepsilon)\\\left| u_{N+2}\right| \le \left| u_{N+1}\right| (q+\varepsilon) \le \left| u_{N}\right| (q+\varepsilon)^{2}\\\left| u_{N+3}\right| \le \left| u_{N}\right| (q+\varepsilon)^{3}\\ ...\\\left| u_{n} \right| \le \left| u_{N}\right|(q+\varepsilon)^{n-N} \end{array}}\)


MG

A mam pytanie (nie wiem czy ktoś tu jeszcze zajrzy). Czy jak mam dowolny ciąg \(\displaystyle{ u_{n}}\) którego granicą jest liczba \(\displaystyle{ g}\), to czy tą samą granicę będzie miał ciąg \(\displaystyle{ u_{n+1}}\)?

No przecież to jest ten sam ciąg o jeden wyraz dłuższy, a jak wiadomo do ciągłości wystarczy że wyrazy zbiegają do granicy od pewnego miejsca ( istnieje indeks \(\displaystyle{ N \in\mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ \forall n>N}\) .. itd).

Gacuteek pisze:[...] a jak wiadomo do ciągłości wystarczy że wyrazy zbiegają do granicy od pewnego miejsca[...]

Hmmm?

Kończę z odwiedzaniem forum nad ranem

Dzięki za odpowiedzi, pomogły mi przebrnąć dalej.

Pozdrawiam.