Matematyka.pl

Wskazać izomorfizm pomiędzy grupami

\(\displaystyle{ \frac{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} }{<(2,5)>}}\) a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

Problem polega na tym, że nie wiem jaką funkcją wziąć (totalne zaćmienie).. Jakiś hint by się przydał. Moje próby:

próbowałem coś w stylu takim: \(\displaystyle{ f(x,y) = 5x - 2y}\), tak by \(\displaystyle{ (2,5) \rightarrow 0}\), aby móc skorzystać z twierdzenia o izomorfizmie, ale wtedy \(\displaystyle{ f(1,1) = 3}\), ponadto na początku myślałem, że byłoby ok gdybym wziął \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{3} (5x - 2y)}\), ale wtedy psułoby się to nam w wielu punktach np \(\displaystyle{ f(2,1)}\)..

\(\displaystyle{ f(1,1)}\) nie musi równać się \(\displaystyle{ 1}\). Żeby Twoja funkcja była epimorfizmem, po prostu musi istnieć para \(\displaystyle{ x_0,y_0}\), dla której \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)=5x_0-2y_0=1}\). \(\displaystyle{ NWD(2,5)=1}\), więc wyż.wsp. \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) istnieje i jest równa np. \(\displaystyle{ (1,2)}\).
Potem sprawdzasz, że w jądrze nie siedzi nic innego - i stosujesz pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla grup.

Pozdrawiam.

Dzięki. W sumie już obczaiłem, bo mój błąd polegał na tym, że pomieszały mi się pojęcia multiplikatywności i addytywności, a tutaj \(\displaystyle{ (0,0)}\) musi przejść na \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ 1}\) to generator liczb całkowitych (napisałem to, by potomni byli oświeceni:P )