Matematyka.pl

Witam!
Twierdzenie Steinhausa:
Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające
wewnątrz dokładnie n punktów kratowych.

Potrzebuję nie tyle dowód tego twierdzenia (chociaż jeżeli nie jest skomplikowany to może być w odpowiedzi), co przykład jego zastosowania w zadaniach, może być wymyślone i nawet proste, żeby tylko wykorzystywało tw Steinhausa.

P.S.Wbrew temu, że w twierdzeniu jest mowa o kole, jest ono zaliczane do teorii liczb

dowód jest oparty o łatwy fakt, tj. to że np:
Każde dwa różne punkty kratowe mają różne odległości od punktu \(\displaystyle{ P(\sqrt{2}, \frac{1}{3})}\).
Jeśli więc \(\displaystyle{ n \in N}\) to istnieje koło K o środku \(\displaystyle{ P}\), mające w swym wnętrzu więcej niż \(\displaystyle{ n}\) punktów kratowych. Punkty te można ustawić w ciąg:
\(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3,….,p_n, ….p_m}\).
Według ich odległości od \(\displaystyle{ P}\) od najmniejszej do największej.
Wtedy koło \(\displaystyle{ k}\) o środku \(\displaystyle{ P}\) i takie że \(\displaystyle{ p_{n+1} \in k}\)
ma w swym wnętrzu \(\displaystyle{ n}\) punktów kratowych. tj. \(\displaystyle{ p_1,…,p_n}\)
i żadnych innych nie.

co przykład jego zastosowania w zadaniach, może być wymyślone i nawet proste

np.
1. Czy możliwe jest też uogólnienie na przypadek przestrzenny?
2. Wyznaczyć największe możliwie koło które ma w swym wnętrzu j punktów kratowych
dla \(\displaystyle{ j=1,...5}\)
3. Wykazać, że nie dla każdej \(\displaystyle{ n}\) istnieje koło o środku w punkcie kratowym i mające w swym wnętrzu \(\displaystyle{ n}\) punktów kratowych.