Matematyka.pl

Hej! Mam problem z tymi zadankami:/ Jesli ktos ma jakis pomysl na rozwiazanie ktoregokolwiek z nich to bardzo prosilbym o pomoc:):
1. Wykazać ze kazda 9-elementowa grupa jest przemienna
2. Podac przyklad nieprzemiennej grupy 27-elementowej
3. Wykaz, ze kazda grupa rzedu p^2, gdzie p jest liczba pierwsza, jest przemienna.
Z gory wielkie dzieki!

3. (I tym samym 1)

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą rzędu \(\displaystyle{ p^2}\).
Wówczas jeśli w \(\displaystyle{ G}\) istnieje \(\displaystyle{ g}\) - element rzędu \(\displaystyle{ p^2}\) to \(\displaystyle{ G}\) jest grupą cykliczną generowaną przez \(\displaystyle{ g}\), czyli jest izomorficzna z \(\displaystyle{ Z_{p^2}}\), czyli przemienna.
Przypuśćmy więc, że dla wszystkich elementów \(\displaystyle{ g\in G}\) z wyjątkiem elmentu neutralnego \(\displaystyle{ rz(g)=p}\) (bo rząd elementu musi dzielić rząd grupy).
Przypuśćmy, że istnieją takie dwa elementy \(\displaystyle{ g_1,g_2 G}\), że \(\displaystyle{ g_1g_2 g_2g_1}\)... cdn