Matematyka.pl

Witam
Mam problem z rozwiązaniem zadania cały czas uzyskuję ujemne pole powierzchni.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y(x)=-x^2 oraz y(x)=-4.

Obliczenia:
1. Obliczam punkt przecięcia funkcji
\(\displaystyle{ -4 = -x^{2}}\)
\(\displaystyle{ -x^{2} + 4 = 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2}\)

2. Obliczam pole powierzchni
\(\displaystyle{ - \int\limits_{-2}^{2} -x^{2} - (-4) dx =
-( \int\limits_{-2}^{2} -x^{2}dx - \int\limits_{-2}^{2}(-4) dx )=
-(-(\frac{x^{3}}{3}\int\limits_{-2}^{2}) + 4x\int\limits_{-2}^{2} ) = - \frac{32}{3}}\)

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu.

Minus przed całką jest błędem. Zrób rysunek: co jest funkcją górną, a co dolną?

Błąd zrobiłeś dlatego, że wydało Ci się, że skoro obszar leży w pópłaszczyźnie ujemnnej, to całkę trzeba wziąć z minusem. Ale przesuń Twoje wykresy o 4 w górę, dostaniesz \(\displaystyle{ y=-x^2+4}\) i \(\displaystyle{ y=0}\). Oczywiście pole jest identyczne, bo translacja jest izometrią. Naiasem mówiąc, dostaniesz identyczną całkę.

Pole pod krzywą dodatnią \(\displaystyle{ y=f(x)}\) to \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx}\). Pod krzywa ujemną \(\displaystyle{ y=f(x)}\) to \(\displaystyle{ -\int_a^b f(x)dx}\) (tutaj funkcja górna to \(\displaystyle{ y=0}\)). Ale jak mamy funkcje "górną" \(\displaystyle{ g}\) i "dolną" \(\displaystyle{ f}\) (tj. \(\displaystyle{ f\le g}\)), to pole obszaru ograniczonego liniami \(\displaystyle{ y=f(x)}\), \(\displaystyle{ y=g(x)}\) oraz \(\displaystyle{ x=a}\), \(\displaystyle{ x=b}\) (czyli trapezu krzywoliniowego czy też obszaru normalnego) to \(\displaystyle{ \int_a^b [g(x)-f(x)]dx}\). To nie ma znaczenia, w jakiej ćwiartce układu znajduje się obszar. Tylko to, co jest na górze i to , co na dole.